Étude et représentation des fonctions - Cours et exercices corrigés | 1re Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Construire une courbe à partir de résultats justifiés : domaine, symétries, limites, branches infinies, variations, tangentes et convexité. Résoudre ensuite des équations ou des inéquations à l’aide de cette étude.

Prérequis et portée. Les règles de calcul des limites et des dérivées sont supposées connues. Ce chapitre les rassemble dans des études complètes de fonctions polynomiales, rationnelles, radicales et trigonométriques simples. Il concerne les sciences expérimentales, les sciences et technologies et les sciences mathématiques.

Organiser une étude avant de tracer

Une courbe représente les points $(x;f(x))$ pour $x$ appartenant au domaine $D_f$. Le premier travail est donc de préciser ce domaine : un dénominateur ne peut pas être nul ; un radicand doit être positif ou nul. Une valeur interdite ne revient pas dans le domaine après une simplification.

Une étude efficace suit les étapes suivantes, en adaptant l’ordre aux simplifications disponibles :

1. Déterminer $D_f$ et chercher les symétries ou la périodicité qui réduisent l’étude.

2. Calculer les limites aux bornes du domaine et identifier les branches infinies.

3. Déterminer où $f$ est dérivable, calculer $f'$, étudier son signe et établir le tableau de variations.

4. Placer les points remarquables : intersections avec les axes, extrema, tangentes utiles et éventuels points d’inflexion.

5. Tracer les asymptotes puis les branches, en respectant tous les résultats ; utiliser les symétries ou la périodicité pour compléter.

Un tableau de variations indique les variations de l’ordonnée lorsque l’abscisse augmente. Une branche qui monte n’est pas nécessairement au-dessus de l’axe des abscisses : le signe de $f$ et celui de $f'$ sont deux informations différentes.

Symétries et périodicité

Les conditions sur le domaine font partie du raisonnement :

• si $x\in D_f\Longleftrightarrow-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$, $f$ est paire ; la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;

• sous la même condition de domaine, si $f(-x)=-f(x)$, $f$ est impaire ; l’origine est un centre de symétrie ;

• plus généralement, la droite $x=a$ est un axe de symétrie si $f(2a-x)=f(x)$ sur un domaine stable par $x\mapsto2a-x$ ;

• le point $(a;b)$ est un centre de symétrie si $f(2a-x)+f(x)=2b$, avec la même stabilité du domaine.

Une fonction est $T$-périodique, avec $T>0$, si son domaine est invariant par translation de $T$ et si $f(x+T)=f(x)$. L’étude d’une période suffit alors, puis on translate la courbe. Une fonction paire et périodique peut souvent être étudiée sur une demi-période.

Limites et branches infinies

Asymptotes verticales et horizontales

Si au moins une limite de $f$ en $a$, à droite ou à gauche, est infinie, la droite $x=a$ est une asymptote verticale. On précise le côté et le signe de l’infini. Une valeur interdite dans une formule n’est pas, à elle seule, une preuve d’asymptote.

Si $f(x)\to\ell\in\mathbb{R}$ lorsque $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$, alors $y=\ell$ est une asymptote horizontale du côté considéré. Les deux côtés peuvent avoir des comportements différents.

Exemple - Distinguer un pôle et un trou

Pour $f(x)=1/(x-1)$, la limite vaut $-\infty$ en $1^-$ et $+\infty$ en $1^+$ : $x=1$ est une asymptote verticale. Pour $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, définie pour $x\ne1$, on a $g(x)=x+1$, donc $g(x)\to2$ en $1$. La courbe présente un point manquant en $(1;2)$, sans asymptote verticale.

Asymptote oblique et position relative

La droite $\Delta:y=ax+b$, avec $a\ne0$, est asymptote à $\mathcal C_f$ en l’infini considéré si $$\boxed{f(x)-(ax+b)\longrightarrow0.}$$ Quand elles existent, les limites $a=\lim f(x)/x$ et $b=\lim(f(x)-ax)$ permettent de la trouver. Il faut que $b$ soit fini. Une simple limite finie de $f(x)/x$ ne prouve donc pas l’existence d’une asymptote oblique.

Le signe de $f(x)-(ax+b)$ donne la position relative : positif au-dessus, négatif au-dessous, nul aux points d’intersection. Une asymptote est une propriété à l’infini ; elle n’interdit pas qu’une courbe la coupe en des points finis.

Directions asymptotiques sans asymptote

Il peut y avoir une branche infinie sans droite asymptote. Quelques situations utiles, avec des limites prises du côté étudié :

• si $|f(x)|\to\infty$ et $f(x)/x\to0$, la branche a une direction horizontale ; c’est le cas de $\sqrt x$ en $+\infty$ ;

• si $|f(x)/x|\to\infty$, la branche a une direction verticale ; c’est le cas de $x^2$ aux deux infinis ;

• si $f(x)/x\to a\ne0$ et $f(x)-ax\to\pm\infty$, la direction est celle de $y=ax$, sans asymptote de cette pente.

Ces situations sont souvent appelées branches paraboliques de la direction correspondante. Pour $f(x)=x+\sqrt x$ en $+\infty$, le quotient par $x$ tend vers $1$, mais $f(x)-x=\sqrt x\to+\infty$ : direction $y=x$, sans asymptote oblique.

Tangentes, convexité et équations graphiques

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Une dérivée nulle donne une tangente horizontale ; les variations de part et d’autre permettent de décider s’il s’agit d’un extremum. Si le taux de variation tend vers l’infini, on étudie une tangente verticale ou une demi-tangente, et non un nombre dérivé réel.

Lorsque $f''$ existe, son signe permet d’étudier la convexité : $f''\ge0$ donne une courbe convexe ; $f''\le0$, une courbe concave. Un point d’inflexion exige un changement de convexité et doit appartenir à la courbe. Une valeur interdite, même si le signe de $f''$ change en la traversant, n’est pas un point d’inflexion.

Lire puis justifier

Résoudre $f(x)=m$ revient à chercher les abscisses des intersections avec la droite horizontale $y=m$. Résoudre $f(x)=g(x)$ revient à chercher celles des intersections de deux courbes. Pour $f(x)\le g(x)$, on retient les abscisses où la première courbe est au-dessous de la seconde, sur leur domaine commun.

Le graphique propose un résultat ; les variations, les images d’intervalles ou un calcul algébrique permettent de le confirmer. On signale les valeurs interdites et le caractère strict ou large de l’inégalité. Pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, une horizontale dont l’ordonnée appartient à son image rencontre la branche une seule fois.

Étude complète d’une fonction rationnelle

Considérons $$f(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac1{x-1},\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$ La seconde écriture facilite les limites et la comparaison avec une droite.

Symétrie, limites et asymptotes

Le domaine est stable par $x\mapsto2-x$, et $f(2-x)=3-x+1/(1-x)$. Par addition, $f(2-x)+f(x)=4$ : le point $I(1;2)$ est un centre de symétrie.

La fonction tend vers $-\infty$ en $1^-$, vers $+\infty$ en $1^+$. La droite $x=1$ est donc une asymptote verticale. Aux deux infinis, $$f(x)-(x+1)=\frac1{x-1}\longrightarrow0,$$ donc $y=x+1$ est une asymptote oblique. La courbe est au-dessous pour $x<1$ et au-dessus pour $x>1$. Elle ne coupe pas cette droite puisque $1/(x-1)$ ne s’annule jamais.

Variations et forme de la courbe

Pour $x\ne1$, $$f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$ Le dénominateur est strictement positif. La dérivée est donc positive pour $x<0$ ou $x>2$, négative pour $0<x<1$ ou $1<x<2$, nulle en $0$ et $2$.

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$f'$		$+$	$0$	$-$	$\|$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty\|+\infty$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$	$+\infty$

Il y a un maximum local $0$ en $0$ et un minimum local $4$ en $2$, avec des tangentes horizontales $y=0$ et $y=4$. Le seul point d’intersection avec les axes est l’origine. Enfin, $f''(x)=2/(x-1)^3$ : la branche gauche est concave, la branche droite convexe. Il n’y a pas de point d’inflexion en $1$, qui n’appartient pas au domaine.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le centre $I$ sert de repère de symétrie ; il n’est pas un point de la courbe. Le dessin est limité à une fenêtre : les flèches du tableau décrivent le comportement en dehors de cette fenêtre.

Étude d’une fonction radicale

Soit $g(x)=\sqrt{x^2+1}-x$. Son domaine est $\mathbb{R}$, et $\sqrt{x^2+1}>|x|$ montre que $g(x)>0$ partout. La rationalisation donne $$g(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}+x}.$$ Le dénominateur est strictement positif ; cette nouvelle expression est donc valable sur tout $\mathbb{R}$.

En $+\infty$, le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $g(x)\to0$ : asymptote horizontale $y=0$, au-dessous de la courbe. En $-\infty$, $g(x)\to+\infty$ et $$g(x)-(-2x)=\sqrt{x^2+1}+x =\frac1{\sqrt{x^2+1}-x}\longrightarrow0.$$ La droite $y=-2x$ est donc une asymptote oblique en $-\infty$, également au-dessous de la courbe. Les deux branches ont des asymptotes différentes.

La dérivée est $g'(x)=x/\sqrt{x^2+1}-1<0$, puisque $x<\sqrt{x^2+1}$. Ainsi $g$ décroît strictement sur $\mathbb{R}$, de $+\infty$ vers $0$, sans atteindre $0$. Elle passe par $(0;1)$ et sa tangente en ce point est $y=1-x$.

Enfin $g''(x)=1/(x^2+1)^{3/2}>0$, donc la courbe est convexe sur $\mathbb{R}$ et n’a pas de point d’inflexion. La notation $(x^2+1)^{3/2}$ signifie ici $(x^2+1)\sqrt{x^2+1}$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le trait bleu représente $g$, la droite grise $y=-2x$ et le segment vert la tangente $y=1-x$. La branche droite se rapproche de l’axe horizontal sans le rencontrer.

Une étude trigonométrique par réduction

Pour $h(x)=2\cos x$, le domaine est $\mathbb{R}$. La fonction est paire et $2\pi$-périodique : il suffit d’étudier $[0;\pi]$, de réfléchir par rapport à l’axe des ordonnées, puis de répéter par translations de $2\pi$.

Sur $[0;\pi]$, $h'(x)=-2\sin x\le0$, strictement négative à l’intérieur. La fonction décroît de $h(0)=2$ à $h(\pi)=-2$, en passant par $h(\pi/2)=0$. Les tangentes en $0$ et $\pi$ sont horizontales. Comme $h''(x)=-2\cos x$, la courbe est concave entre $0$ et $\pi/2$, convexe entre $\pi/2$ et $\pi$, avec un point d’inflexion en $(\pi/2;0)$.

La périodicité non constante empêche une limite en $+\infty$ : par exemple $h(2k\pi)=2$ et $h((2k+1)\pi)=-2$. On ne trace donc pas d’asymptote horizontale simplement parce que la fonction est bornée.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Une cubique complète

Étudier $u(x)=x^3-3x$ : domaine, symétrie, limites, variations, intersections avec les axes, convexité et tangente en $0$.

Correction. Le domaine est $\mathbb{R}$ et $u$ est impaire. Les limites en $-\infty,+\infty$ sont respectivement $-\infty,+\infty$. Comme $u'=3(x-1)(x+1)$, $u$ croît sur $]-\infty;-1]$, décroît sur $[-1;1]$, puis croît sur $[1;+\infty[$. Les extrema locaux sont $u(-1)=2$ et $u(1)=-2$.

L’équation $u=0$ donne $x(x^2-3)=0$, soit $x=-\sqrt3,0,\sqrt3$. La dérivée seconde $u''=6x$ change de signe en $0$ : courbe concave à gauche, convexe à droite, inflexion en l’origine. Comme $u'(0)=-3$, la tangente y est $y=-3x$. Enfin $u(x)/x=x^2-3\to+\infty$ aux deux infinis : aucune asymptote affine, branches de direction verticale.

Exercice 2 - Une hyperbole translatée

Étudier $v(x)=(x+1)/(x-2)$, puis déterminer le nombre de solutions de $v(x)=m$ selon $m\in\mathbb{R}$.

Correction. Sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, écrire $v(x)=1+3/(x-2)$. Les asymptotes sont $x=2$ et $y=1$ ; la branche gauche est au-dessous de $y=1$, la droite au-dessus. Les limites en $2^-,2^+$ sont $-\infty,+\infty$, et les deux limites à l’infini valent $1$. Le point $(2;1)$ est centre de symétrie.

La dérivée $v'=-3/(x-2)^2$ est négative : chaque branche décroît. Les intersections avec les axes sont $(-1;0)$ et $(0;-1/2)$. La dérivée seconde $6/(x-2)^3$ donne concavité à gauche et convexité à droite, sans point d’inflexion au point exclu. Pour $m=1$, l’équation n’a aucune solution. Pour $m\ne1$, elle donne l’unique réel $x=(2m+1)/(m-1)$, qui ne peut pas être égal à $2$ car cela imposerait $1=-2$.

Exercice 3 - Une racine avec une extrémité

Étudier $w(x)=\sqrt x-x$ : domaine, variations, maximum, zéros et branche en $+\infty$.

Correction. Le domaine est $[0;+\infty[$. Pour $x>0$, $w'(x)=1/(2\sqrt x)-1$. Cette dérivée est positive pour $0<x<1/4$, nulle en $1/4$, puis négative. Avec $w(0)=0$, le maximum global est $w(1/4)=1/4$. L’équation $\sqrt x=x$ donne $x=0$ ou $x=1$ après vérification dans le domaine.

En $0$, le taux de variation à droite vaut $1/\sqrt h-1\to+\infty$ : demi-tangente verticale $x=0$. En $+\infty$, $w\to-\infty$, $w(x)/x\to-1$ et $w(x)+x=\sqrt x\to+\infty$. Il y a une direction asymptotique $y=-x$, mais aucune asymptote oblique. Enfin $w''(x)=-1/(4x\sqrt x)<0$ pour $x>0$ : la courbe est concave.

Exercice 4 - Compter des intersections avec une horizontale

Pour $f(x)=x^2/(x-1)$, déterminer le nombre de solutions réelles de $f(x)=m$ selon $m$.

Correction. L’étude du cours montre que la branche gauche a pour maximum $0$, atteint en $0$, et la branche droite pour minimum $4$, atteint en $2$. Les deux parties de chaque branche sont strictement monotones. Il y a donc deux solutions si $m<0$ ou $m>4$, une solution si $m=0$ ou $m=4$, et aucune si $0<m<4$.

Le contrôle algébrique donne $x^2-mx+m=0$, de discriminant $m(m-4)$. Le point $x=1$ n’est jamais racine de ce trinôme puisque sa valeur y est $1$. Les racines comptées sont donc toutes admises dans le domaine.

Exercice 5 - Comparer une courbe à deux droites

Pour la même fonction $f$, étudier sa position par rapport à $y=x+1$, puis résoudre $f(x)\le x+2$.

Correction. On a $f(x)-(x+1)=1/(x-1)$, négatif pour $x<1$ et positif pour $x>1$ : aucune intersection avec l’asymptote. Ensuite, $$f(x)-(x+2)=\frac1{x-1}-1=\frac{2-x}{x-1}.$$ Le quotient est négatif sur $]-\infty;1[$, positif sur $]1;2[$, nul en $2$, puis négatif pour $x>2$. L’ensemble des solutions est $]-\infty;1[\cup[2;+\infty[$. Multiplier l’inégalité par $x-1$ sans distinguer son signe aurait été incorrect.

Exercice 6 - Une période et ses extrémités

Sur $[-\pi;\pi]$, étudier $h(x)=2\cos x$ et compter les solutions de $h(x)=m$.

Correction. Par parité, la courbe croît de $-2$ à $2$ sur $[-\pi;0]$, puis décroît de $2$ à $-2$ sur $[0;\pi]$. Il n’y a pas de solution si $|m|>2$ ; il y en a deux si $-2<m<2$ ; une si $m=2$, en $x=0$ ; et deux si $m=-2$, en $x=-\pi$ et $x=\pi$. Les deux extrémités sont distinctes dans ce segment fermé, même si elles représentent les bords d’une période. Les points d’inflexion sont $(-\pi/2;0)$ et $(\pi/2;0)$, car $-2\cos x$ y change de signe.

Exercice 7 - Distinguer trois comportements

En $+\infty$, classer les courbes de $a(x)=x^2$, $b(x)=x+\sqrt x$ et $c(x)=x+1+1/x$ ; donner une asymptote lorsqu’il en existe une.

Correction. Pour $a$, le quotient $a(x)/x=x\to+\infty$ : direction verticale, sans asymptote affine. Pour $b$, le quotient tend vers $1$, mais $b(x)-x=\sqrt x\to+\infty$ : direction $y=x$, sans asymptote oblique. Pour $c$, $c(x)-(x+1)=1/x\to0$ : asymptote oblique $y=x+1$, au-dessous de la courbe pour $x>0$. Les trois fonctions tendent vers $+\infty$, mais leurs branches n’ont pas la même forme.

Exercice 8 - Une annulation trompeuse

La courbe de $p(x)=x^4$ possède-t-elle un point d’inflexion en $0$ ? Comparer avec $q(x)=x^3$.

Correction. On a $p''(x)=12x^2\ge0$ sur $\mathbb{R}$. Même si $p''(0)=0$, il n’y a pas de changement de convexité : pas d’inflexion en $0$. En revanche, $q''(x)=6x$ est négative à gauche et positive à droite ; $(0;0)$ est un point d’inflexion de $q$. Les deux courbes ont une tangente horizontale en $0$, puisque leurs dérivées premières y sont nulles. Cette tangente ne permet donc pas, à elle seule, de les distinguer.

Exercice 9 - Un antécédent pour une fonction radicale

Résoudre $\sqrt{x^2+1}-x=c$ selon le réel $c$.

Correction. La fonction étudiée dans le cours est strictement positive, continue et strictement décroissante de $+\infty$ vers $0$. Il n’y a donc aucune solution pour $c\le0$ et une seule pour $c>0$. Dans ce dernier cas, l’équation équivaut à $\sqrt{x^2+1}=x+c$, avec la condition $x+c\ge0$. En élevant au carré, on obtient $1=2cx+c^2$, donc $$x=\frac{1-c^2}{2c}.$$ Pour cette valeur, $x+c=(1+c^2)/(2c)>0$ : la condition de signe est vérifiée et le calcul est réversible. Cette valeur est bien l’unique solution annoncée par l’étude graphique.

Fin du cours et des exercices corrigés