Équations, inéquations et systèmes - Cours et exercices corrigés | TC lettres et enseignement originel

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Résoudre des équations du premier et du second degré, choisir une méthode de factorisation, résoudre des inéquations se ramenant au premier degré et des systèmes linéaires à deux inconnues, puis interpréter les solutions d’un problème concret.

Cadre. Les inconnues sont réelles, sauf indication contraire. Les coefficients des exercices sont fixés numériquement : les équations à paramètres ne font pas partie de ce chapitre. Les situations de prix et de quantités sont des exemples pédagogiques.

Ce que signifie résoudre une équation

Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie et pour laquelle toutes les expressions sont définies. Résoudre, c’est déterminer l’ensemble $S$ de toutes ces valeurs. Une équation peut avoir une solution, plusieurs, aucune, ou tous les réels comme solutions.

Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions sur le domaine considéré. Ajouter la même expression aux deux membres conserve l’égalité ; multiplier par un nombre non nul conserve aussi les solutions. Diviser par une expression contenant l’inconnue exige d’abord qu’elle ne soit pas nulle.

Vérifier le domaine avant de transformer

Pour une fraction, le dénominateur ne doit pas s’annuler. Une valeur interdite ne devient pas une solution après simplification. À la fin, on remplace les candidats dans l’équation de départ, et pas seulement dans la dernière équation transformée.

Élever les deux membres au carré peut ajouter des solutions : $x=2$ impose $x^2=4$, mais $x^2=4$ accepte aussi $-2$. Chaque transformation doit donc être justifiée dans le sens utilisé.

Premier degré et produit nul

Réduire à une équation simple

Une équation du premier degré se ramène à $ax+b=0$ avec $a\ne0$, où $a,b$ sont des nombres fixés. Elle possède l’unique solution $x=-b/a$.

On développe les parenthèses, on rassemble les termes contenant $x$ dans un membre et les termes constants dans l’autre, puis on divise par le coefficient non nul. Par exemple, $$3(2x-1)=4x+7\iff6x-3=4x+7\iff2x=10\iff x=5.$$ Le contrôle donne $3(10-1)=27$ et $4\times5+7=27$.

Si les termes en $x$ disparaissent, il faut lire ce qui reste. L’égalité $0=0$ est toujours vraie et donne tous les réels du domaine. L’égalité $0=3$ est impossible et donne $S=\varnothing$. On ne divise jamais par le coefficient nul pour fabriquer une solution.

Éliminer des dénominateurs numériques

Pour $\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=4$, multiplier les deux membres par $6\ne0$ donne $2(x-1)+3(x+2)=24$, puis $5x+4=24$. Ainsi $x=4$. Le dénominateur commun multiplie chaque terme, y compris le membre droit.

Utiliser un produit nul

Dans $\mathbb{R}$, un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi $$(2x-3)(x+4)=0\iff 2x-3=0\ \text{ou}\ x+4=0.$$ On obtient $S=\{-4;3/2\}$. Une somme n’obéit pas à cette règle : $A+B=0$ n’impose ni $A=0$ ni $B=0$. Pour employer le produit nul, il faut d’abord avoir un produit égal à zéro.

Second degré : trois méthodes complémentaires

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$. Avant d’appliquer une formule, chercher une factorisation évidente ou une identité remarquable.

Factoriser quand la forme le permet

L’équation $x^2-5x=0$ s’écrit $x(x-5)=0$, donc $S=\{0;5\}$. Diviser immédiatement par $x$ aurait fait perdre la solution $0$.

De même, $4x^2-9=0$ donne $(2x-3)(2x+3)=0$, donc $x=\pm3/2$. Ces deux résolutions n’ont pas besoin du discriminant.

Compléter un carré : la forme canonique

On utilise $x^2-6x+5=(x-3)^2-4$. Ainsi $$x^2-6x+5=0\iff(x-3)^2=4\iff x-3=2\ \text{ou}\ x-3=-2.$$ Les solutions sont $1$ et $5$. La racine carrée de $4$ vaut $2$, mais l’équation $u^2=4$ a bien deux solutions opposées.

Plus généralement, en développant le carré, on vérifie l’identité $$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.$$ Cette écriture explique pourquoi le signe de $b^2-4ac$ détermine le nombre de solutions.

Employer le discriminant

On note $\Delta=b^2-4ac$. L’équation équivaut à $(2ax+b)^2=\Delta$.

Solutions réelles du second degré

• Si $\Delta<0$, aucune solution réelle : $S=\varnothing$.

• Si $\Delta=0$, une seule solution $x_0=-b/(2a)$, appelée racine double.

• Si $\Delta>0$, deux solutions distinctes $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$

On calcule d’abord $\Delta$ avec les signes exacts de $a,b,c$, puis les racines. Lorsque $a<0$, les indices $1,2$ ci-dessus ne préjugent pas de leur ordre croissant.

Exemple - Deux racines rationnelles

Pour $2x^2-7x+3=0$, $a=2,b=-7,c=3$, donc $\Delta=49-24=25$. Les solutions sont $(7-5)/4=1/2$ et $(7+5)/4=3$. La factorisation est $$2x^2-7x+3=2(x-1/2)(x-3)=(2x-1)(x-3).$$ Le développement retrouve les trois coefficients et contrôle le résultat.

Factoriser le trinôme à partir des racines

Si $\Delta>0$, le trinôme est $a(x-x_1)(x-x_2)$. Si $\Delta=0$, il est $a(x-x_0)^2$. Le facteur $a$ doit être conservé. Si $\Delta<0$, il ne se factorise pas en un produit de deux facteurs réels du premier degré.

Par exemple, $3x^2+6x+4=3(x+1)^2+1>0$ pour tout réel $x$ ; l’équation associée n’a pas de solution. La forme canonique fournit ici une explication directe, sans se limiter à annoncer un discriminant négatif.

Équations qui se ramènent aux précédentes

Les fractions, produits et identités peuvent masquer une équation de degré un ou deux. On précise le domaine, puis on transforme sans perdre les restrictions.

Pour $\frac{x+1}{x-2}=3$, le domaine est $x\ne2$. Multiplier par $x-2\ne0$ donne $x+1=3x-6$, donc $x=7/2$. Cette valeur appartient au domaine, et le quotient initial vaut bien $3$.

À l’inverse, une multiplication par un dénominateur peut faire apparaître un candidat interdit. La procédure complète comporte donc deux étapes distinctes : calculer les candidats dans l’équation transformée, puis garder ceux qui satisfont le domaine et l’équation initiale.

Inéquations du premier degré et signes

Résoudre et écrire un intervalle

Les règles d’ordre donnent des transformations équivalentes : on peut ajouter un même nombre ; multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens, par un nombre négatif l’inverse. $$5-2x<11\iff -2x<6\iff x>-3.$$ Ainsi $S=]-3;+\infty[$. Le point $-3$ est exclu parce que l’inégalité est stricte. Pour $5-2x\le11$, il serait inclus.

Une double inégalité exige les deux conditions en même temps. Par exemple, $1\le2x+3<7$ équivaut à $-1\le x<2$, donc $S=[-1;2[$. Pour plusieurs contraintes, on prend l’intersection des ensembles obtenus.

Le signe d’une expression affine

Pour $a\ne0$, l’expression $ax+b$ s’annule en $r=-b/a$. Elle a le signe de $a$ lorsque $x>r$, et le signe opposé lorsque $x<r$. Par exemple :

$x$	$-\infty$		$3/2$		$+\infty$
$2x-3$		$-$	$0$	$+$
$3-2x$		$+$	$0$	$-$

Le signe de $a$ doit être identifié avant de dresser le tableau. Une expression constante a simplement son propre signe ; elle ne possède pas forcément de zéro.

Un quotient : séparer les signes plutôt que multiplier à l’aveugle

Résoudre $\frac{x-1}{x+2}\ge0$ demande d’abord $x\ne-2$. Le quotient est positif lorsque numérateur et dénominateur ont le même signe, et nul lorsque le numérateur est nul avec dénominateur non nul.

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$+\infty$
$x-1$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+2$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-1)/(x+2)$		$+$	interdit	$-$	$0$	$+$

On obtient $S=]-\infty;-2[\cup[1;+\infty[$. Cette résolution se ramène aux signes de deux expressions du premier degré. Multiplier directement l’inégalité par $x+2$ sans connaître son signe serait incorrect.

Équations linéaires à deux inconnues

L’équation $x+y=6$ est satisfaite par plusieurs couples : $(0,6)$, $(2,4)$, $(3,3)$. Un couple est ordonné : le premier nombre remplace $x$, le second remplace $y$. Une seule relation ne détermine donc pas en général les deux inconnues.

Un système impose plusieurs relations simultanément. Une solution doit satisfaire chaque équation ; on ne réunit pas les solutions séparées. Considérons $$\begin{cases}x+y=6,\\2x+y=9.\end{cases}$$

Méthode par substitution

La première équation donne $y=6-x$. On remplace $y$ dans la seconde : $2x+6-x=9$, d’où $x=3$. On revient ensuite à $y=6-x$ pour obtenir $y=3$. Le couple $(3,3)$ vérifie $3+3=6$ et $2\times3+3=9$.

Méthode par combinaison linéaire

On retranche la première équation de la seconde : $(2x+y)-(x+y)=9-6$, donc $x=3$. Avec $x+y=6$, on retrouve $y=3$. En général, multiplier une équation par une constante non nulle, puis lui ajouter un multiple de l’autre, permet d’éliminer une inconnue tout en conservant un système équivalent.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

La solution du système correspond au point commun aux deux droites. Le dessin aide à comprendre la réponse ; les calculs établissent les coordonnées exactes.

Aucune solution ou une infinité

Pour $2x-y=1$ et $4x-2y=3$, doubler la première donne $4x-2y=2$, incompatible avec la seconde : il n’y a aucune solution. Si la seconde était $4x-2y=2$, elle répéterait la première ; tous les couples $(t,2t-1)$, $t\in\mathbb{R}$, conviendraient. Ici $t$ sert seulement à décrire la famille de couples ; les coefficients du système restent fixés.

Mettre un problème en équation

1. Nommer les inconnues et préciser leurs unités et leurs contraintes : prix positif, nombre entier, longueur strictement positive, par exemple.

2. Traduire chaque information par une relation. Une égalité et un plafond de budget ne se traduisent pas de la même façon.

3. Résoudre le modèle algébrique en gardant les valeurs interdites et les contraintes.

4. Revenir au contexte : donner une phrase de réponse, puis contrôler les informations initiales.

Une solution algébrique négative peut être rejetée pour une longueur ; une valeur non entière ne peut pas être un nombre de personnes. Le contrôle de contexte fait partie de la résolution.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Fractions et premier degré

Résoudre $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=\frac56$.

Correction. Les dénominateurs sont des constantes non nulles. Multiplier par $12$ donne $4(2x-1)-3(x+2)=10$, donc $8x-4-3x-6=10$. Ainsi $5x=20$, puis $x=4$. Le membre gauche initial vaut $7/3-6/4=14/6-9/6=5/6$. L’ensemble des solutions est $S=\{4\}$.

Exercice 2 - Quand l’inconnue disparaît

Résoudre séparément $2(x-3)+4=2x-2$ et $3(x+1)=3x+5$.

Correction. La première équation devient $2x-6+4=2x-2$, donc $0=0$ après simplification : elle est vraie pour tout réel et $S_1=\mathbb{R}$. La seconde devient $3x+3=3x+5$, donc $3=5$, ce qui est impossible : $S_2=\varnothing$. Aucun partage par zéro n’intervient ; c’est l’égalité obtenue qui détermine la réponse.

Exercice 3 - Reconnaître une différence de carrés

Résoudre $(2x-5)^2-(x+1)^2=0$.

Correction. La différence se factorise en $$(2x-5-x-1)(2x-5+x+1)=(x-6)(3x-4).$$ Le produit est nul pour $x=6$ ou $x=4/3$. Les deux valeurs sont autorisées. Pour $6$, les deux carrés sont $7^2$ ; pour $4/3$, les bases sont $-7/3$ et $7/3$, dont les carrés sont égaux. Ainsi $S=\{4/3;6\}$.

Exercice 4 - Discriminant et factorisation

Résoudre $2x^2+x-6=0$, puis factoriser le trinôme.

Correction. $\Delta=1-4\times2\times(-6)=49>0$. Les racines sont $(-1-7)/4=-2$ et $(-1+7)/4=3/2$. Donc $S=\{-2;3/2\}$ et $$2x^2+x-6=2(x+2)(x-3/2)=(x+2)(2x-3).$$ Le produit développé donne $2x^2-3x+4x-6=2x^2+x-6$, ce qui contrôle la factorisation et le coefficient dominant.

Exercice 5 - Une forme canonique utile

Résoudre $x^2-8x+11=0$ par complétion du carré et donner les valeurs exactes.

Correction. Comme $(x-4)^2=x^2-8x+16$, on a $x^2-8x+11=(x-4)^2-5$. L’équation équivaut à $(x-4)^2=5$, puis $x-4=\sqrt5$ ou $x-4=-\sqrt5$. Ainsi $S=\{4-\sqrt5;4+\sqrt5\}$. Remplacer chaque valeur dans la forme canonique donne bien $5-5=0$. Un arrondi décimal ne remplacerait pas ces réponses exactes.

Exercice 6 - Rejeter un candidat interdit

Résoudre $\frac{x^2-1}{x-1}=3$.

Correction. Il faut $x\ne1$. Sur ce domaine, multiplier par $x-1$ donne $x^2-1=3x-3$, donc $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$. Les candidats sont $1$ et $2$ ; le premier est interdit. Pour $x=2$, le quotient vaut $(4-1)/(2-1)=3$. L’ensemble est donc $S=\{2\}$. On aurait aussi pu simplifier la fraction en $x+1$ pour $x\ne1$, en conservant cette restriction.

Exercice 7 - Un budget et une contrainte entière

Une activité coûte $60$ DH de frais fixes puis $12$ DH par participant. Le budget disponible est $175$ DH. Quel est le plus grand nombre possible de participants ?

Correction. Si $n$ désigne ce nombre, $n$ est un entier positif ou nul. Le budget impose $60+12n\le175$, donc $12n\le115$ et $n\le115/12\approx9{,}58$. Le plus grand entier autorisé est $9$. Le coût pour $9$ personnes est $168$ DH ; pour $10$, il serait $180$ DH et dépasserait le budget. Le résultat n’est donc pas obtenu en arrondissant $9{,}58$ au plus proche, mais en respectant le plafond.

Exercice 8 - Une inéquation avec un dénominateur variable

Résoudre $\frac{2x-3}{x+1}<1$.

Correction. Le domaine est $x\ne-1$. En retranchant $1$ et en réunissant les fractions, on obtient $$\frac{2x-3}{x+1}-1=\frac{x-4}{x+1}<0.$$ Les changements de signe se produisent en $-1$ et $4$. Pour $x<-1$, les deux facteurs sont négatifs et le quotient est positif. Pour $-1<x<4$, le numérateur est négatif et le dénominateur positif : le quotient est négatif. Pour $x>4$, il est positif. Le point $-1$ est interdit et $4$ donne zéro, exclu par le signe strict. Ainsi $S=]-1;4[$.

Exercice 9 - Substitution dans un système

Résoudre $\begin{cases}2x+y=13,\\x-y=2.\end{cases}$

Correction. La seconde relation donne $y=x-2$. En substituant dans la première, $2x+x-2=13$, donc $3x=15$ et $x=5$. Alors $y=3$. La solution unique est le couple $(5,3)$ : $2\times5+3=13$ et $5-3=2$. L’addition des deux équations aurait aussi éliminé $y$ et fourni directement $3x=15$.

Exercice 10 - Retrouver deux effectifs

On a vendu $48$ billets : les billets adultes coûtent $30$ DH et les billets enfants $18$ DH. La recette est $1\,200$ DH. Retrouver les deux effectifs.

Correction. Notons $x$ le nombre d’adultes et $y$ le nombre d’enfants. Les données donnent $$\begin{cases}x+y=48,\\30x+18y=1200.\end{cases}$$ On retranche $18$ fois la première équation de la seconde : $12x=1200-864=336$, donc $x=28$. Puis $y=48-28=20$. Ce sont deux entiers positifs. Le contrôle donne $28+20=48$ et $30\times28+18\times20=840+360=1200$ DH. Il y a donc $28$ billets adultes et $20$ billets enfants.

Exercice 11 - Deux dimensions à retrouver

Un rectangle a un périmètre de $34$ cm et une aire de $60$ cm$^2$. Déterminer ses dimensions.

Correction. Les longueurs positives $L,l$ satisfont $L+l=17$ et $Ll=60$. En posant $l=17-L$, l’aire donne $L(17-L)=60$, donc $$L^2-17L+60=0.$$ Le discriminant vaut $289-240=49$ ; les racines sont $(17-7)/2=5$ et $(17+7)/2=12$. Si $L$ est la longueur la plus grande, $L=12$ cm et $l=5$ cm ; l’autre racine échange simplement les deux dimensions. On vérifie $2(12+5)=34$ cm et $12\times5=60$ cm$^2$.

Une réponse complète

Écrire le domaine, conserver les transformations justifiées, calculer toutes les solutions, exclure les valeurs interdites, puis appliquer les contraintes du contexte. Un système donne des couples ; une inéquation donne souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.

Fin du cours et des exercices corrigés