Équations, inéquations et systèmes | 1re bac lettres, originel et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Consolider les méthodes du premier et du second degré, étudier le signe d’un trinôme, résoudre un système de deux équations linéaires et traduire une situation en contraintes mathématiques. Vérifier les conditions et interpréter les solutions dans leur contexte.

Cadre. On cherche des solutions réelles, sauf lorsqu’un problème impose des entiers ou des longueurs positives. Les données de prix et de recettes sont fictives. Ce chapitre reprend les acquis du tronc commun par des méthodes et des applications ; les problèmes dépendant d’un paramètre ne sont pas étudiés.

Préparer et contrôler la résolution

Ce que signifie résoudre

Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre signifie trouver toutes les solutions, puis écrire l’ensemble $S$ qu’elles forment. Pour une inéquation, on cherche les valeurs qui rendent l’inégalité vraie ; l’ensemble obtenu est souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.

Avant tout calcul, on relève les restrictions. Dans $1/(x-3)$, la valeur $3$ est interdite. Dans un problème de billets, un nombre négatif ou non entier de billets ne convient pas, même s’il vérifie une relation algébrique intermédiaire.

Opérations réversibles

Pour une égalité, ajouter ou soustraire la même expression aux deux membres conserve les solutions lorsque les expressions sont définies. Multiplier ou diviser par un nombre non nul les conserve aussi.

Pour une inégalité, multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve le sens ; multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif inverse le sens.

Diviser par une expression contenant $x$ exige de vérifier qu’elle n’est pas nulle. Pour une inégalité, il faut en plus connaître son signe. On ne multiplie donc pas une inéquation par $x-2$ sans distinguer les cas ou utiliser un tableau de signes.

Une démarche en quatre étapes

Définir l’inconnue et son domaine ; transformer en une forme connue ; résoudre en conservant les conditions ; contrôler et interpréter. Une valeur arrondie peut servir à comprendre un résultat, mais on conserve une valeur exacte lorsque le calcul la fournit.

Premier degré et équations qui s’y ramènent

Isoler l’inconnue

Une équation du premier degré s’écrit $ax+b=0$, avec $a\ne0$. Sa solution unique est $x=-b/a$. Pour y parvenir, on développe si nécessaire, on rassemble les termes en $x$ d’un côté et les constantes de l’autre.

Par exemple, $$3(x-2)-2(x+1)=5\iff x-8=5\iff x=13.$$ La vérification donne $3\times11-2\times14=33-28=5$. Si le coefficient de $x$ disparaît, il ne faut pas diviser par zéro : une égalité toujours vraie, comme $0=0$, donne tous les réels admissibles ; une égalité fausse, comme $0=5$, ne donne aucune solution.

Produit nul et quotient nul

Un produit est nul si et seulement si au moins un facteur est nul. Ainsi, $$(2x-3)(x+4)=0\iff x=\frac32\text{ ou }x=-4.$$ Pour un quotient, il faut que le numérateur soit nul et le dénominateur non nul. Cette deuxième condition ne disparaît pas après une simplification.

Exemple - Une équation avec une valeur interdite

Résoudre $(x+1)/(x-2)=3$ impose $x\ne2$. Sur ce domaine, multiplier par $x-2$ est réversible pour l’égalité : $$x+1=3(x-2)\iff2x=7\iff x=\frac72.$$ La valeur $7/2$ n’est pas interdite et donne $(9/2)/(3/2)=3$. Donc $S=\{7/2\}$.

Une inéquation linéaire

Résoudre $5-2x\le11$ donne $-2x\le6$, puis $x\ge-3$. La division par $-2$ inverse le sens. L’ensemble solution est $[-3;+\infty[$ ; la borne $-3$ est incluse parce que l’inégalité initiale autorise l’égalité.

Second degré : racines et factorisation

Un trinôme du second degré est $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$. Avant de calculer un discriminant, on vérifie si une factorisation ou une identité remarquable est immédiatement visible : $x^2-25=(x-5)(x+5)$, par exemple.

Le discriminant

On pose $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, deux racines réelles distinctes : $x_1=(-b-\sqrt\Delta)/(2a)$ et $x_2=(-b+\sqrt\Delta)/(2a)$.

• Si $\Delta=0$, une racine double : $x_0=-b/(2a)$.

• Si $\Delta<0$, aucune racine réelle.

Avec deux racines, $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; avec une racine double, $P(x)=a(x-x_0)^2$.

Ces formules proviennent de la forme $$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].$$ Un carré réel étant positif ou nul, le signe de $\Delta$ détermine le nombre de racines. Si $a<0$, l’écriture avec $-\sqrt\Delta$ ne donne pas nécessairement la plus petite racine : on range les valeurs après les avoir calculées.

Exemple - Trois écritures d’un trinôme

Pour $P(x)=2x^2-5x+2$, $\Delta=25-16=9$. Les racines sont $(5-3)/4=1/2$ et $(5+3)/4=2$. Donc $$P(x)=2\left(x-\frac12\right)(x-2)=2\left(x-\frac54\right)^2-\frac98.$$ La forme développée donne les coefficients ; la forme factorisée donne les zéros ; la forme avec un carré donne un minimum égal à $-9/8$, atteint pour $x=5/4$.

Signe et inéquations du second degré

Lire le signe à partir des racines

Si un trinôme possède deux racines $r_1<r_2$, il a le signe de $a$ à l’extérieur de $[r_1;r_2]$ et le signe opposé entre les racines. Il vaut zéro aux deux racines. Cela découle des signes de $x-r_1$ et $x-r_2$ dans la factorisation.

$x$	$]-\infty;r_1[$	$r_1$	$]r_1;r_2[$	$r_2$	$]r_2;+\infty[$
$ax^2+bx+c$	signe de $a$	$0$	signe opposé à $a$	$0$	signe de $a$

Avec une racine double, le trinôme a le signe de $a$ partout, sauf qu’il s’annule à cette racine. Sans racine réelle, il a strictement le signe de $a$ partout. On distingue donc toujours les trois cas du discriminant.

Exemple - Résoudre $2x^2-5x+2\le0$

Le coefficient $a=2$ est positif et les racines sont $1/2$ et $2$. Le trinôme est négatif entre elles et nul à leurs extrémités. Ainsi $S=[1/2;2]$. Pour l’inégalité stricte $2x^2-5x+2<0$, on exclurait les deux racines.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le dessin explique le résultat ; les valeurs exactes des bornes viennent du calcul. Une lecture graphique approximative ne remplace pas la résolution algébrique.

Produits, quotients et conditions simultanées

Pour une expression factorisée ou un quotient, on dresse les signes de chaque facteur et on les combine. Les zéros d’un dénominateur restent exclus, même si l’inégalité est large.

Par exemple, pour $(x-1)/(x+2)\ge0$, les valeurs importantes sont $-2$ et $1$ :

$x$	$]-\infty;-2[$	$-2$	$]-2;1[$	$1$	$]1;+\infty[$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
quotient	$+$	interdit	$-$	$0$	$+$

Donc $S=]-\infty;-2[\,\cup\,[1;+\infty[$. Multiplier directement par $x+2$ aurait exigé de distinguer son signe.

Si deux inéquations doivent être vérifiées ensemble, on prend l’intersection de leurs ensembles solutions. Si le problème demande que l’une ou l’autre soit vraie, on prend leur réunion. Le mot de liaison fait partie du problème.

Systèmes de deux équations du premier degré

Un couple $(x;y)$ est solution d’un système s’il vérifie les deux équations en même temps. Chaque équation linéaire non dégénérée représente une droite ; la solution du système correspond à leur point commun lorsqu’elles se coupent.

Substitution

Pour résoudre $x+y=7$ et $2x-y=2$, on exprime $y=7-x$, puis on remplace dans la seconde : $2x-(7-x)=2$, donc $3x=9$, $x=3$ et $y=4$. On contrôle $3+4=7$ et $6-4=2$.

Combinaison linéaire

On peut multiplier une équation par un nombre non nul, puis additionner les équations pour éliminer une inconnue. Avec le même système, additionner directement les deux égalités donne $3x=9$. Il faut conserver une équation pour retrouver $y$ ; l’égalité obtenue par addition, seule, ne décrit pas toutes les contraintes initiales.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Aucune solution ou une infinité

Si l’élimination conduit à une égalité fausse, le système est incompatible. Par exemple, $x+y=3$ et $2x+2y=8$ demandent à la fois $2x+2y=6$ et $2x+2y=8$ : aucune solution.

Si une équation est un multiple de l’autre, elles expriment la même contrainte. Ainsi, $x+y=3$ et $2x+2y=6$ admettent une infinité de solutions : pour chaque réel $x$, on peut choisir $y=3-x$. L’identité $0=0$ obtenue par élimination ne signifie pas que tous les couples conviennent ; l’équation restante doit toujours être vérifiée.

Mettre une situation en équations

Nommer les inconnues avec leur unité facilite la traduction. Un total de quantités produit une équation de somme ; un prix total produit une somme de produits prix unitaire $\times$ quantité. Pour une aire, les unités sont des unités de surface, et une longueur inconnue doit être positive.

Exemple - Deux tarifs fictifs

Une activité propose un tarif A à $50$ DH et un tarif B à $30$ DH. On vend $20$ places pour $820$ DH. Si $x$ et $y$ désignent les nombres de places A et B, $$x+y=20,\qquad50x+30y=820.$$ Soustraire $30(x+y)=600$ de la deuxième égalité donne $20x=220$, donc $x=11$ et $y=9$. Les résultats sont des entiers positifs et la recette contrôlée vaut $550+270=820$ DH. Le calcul doit être suivi de cette phrase d’interprétation.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Développer puis contrôler

Résoudre $3(2x-1)-2(x+4)=9$.

Correction. Le premier membre vaut $6x-3-2x-8=4x-11$. L’équation équivaut à $4x=20$, donc $S=\{5\}$. La vérification dans l’écriture initiale donne $3\times9-2\times9=27-18=9$.

Exercice 2 - Une fraction et une exclusion

Résoudre $(2x+1)/(x-3)=4$, puis $(x^2-9)/(x-3)=0$.

Correction. Dans les deux équations, $x=3$ est interdit. La première équivaut, sur ce domaine, à $2x+1=4x-12$, d’où $x=13/2$. Le quotient vaut alors $14/(7/2)=4$, donc $S_1=\{13/2\}$.

Pour la seconde, le numérateur doit être nul : $(x-3)(x+3)=0$ donne $3$ ou $-3$. Seul $-3$ est admissible ; $S_2=\{-3\}$. La valeur interdite ne devient pas autorisée après simplification par $x-3$.

Exercice 3 - Deux racines et leur factorisation

Résoudre $3x^2-7x+2=0$ et factoriser le trinôme.

Correction. $\Delta=49-24=25$. Les racines sont $(7-5)/6=1/3$ et $(7+5)/6=2$. Donc $S=\{1/3;2\}$ et $$3x^2-7x+2=3\left(x-\frac13\right)(x-2).$$ Le coefficient $3$ doit rester dans la factorisation. En développant, le coefficient de $x$ est $3(-2-1/3)=-7$ et la constante vaut $3\times2/3=2$.

Exercice 4 - Un carré, une racine double, aucune racine

Résoudre $(x-2)^2=7$, $x^2+6x+9=0$ et $2x^2+4x+5=0$.

Correction. Dans la première, $x-2=\sqrt7$ ou $x-2=-\sqrt7$, donc $S_1=\{2-\sqrt7;2+\sqrt7\}$. La seconde est $(x+3)^2=0$, donc $S_2=\{-3\}$. Pour la troisième, $\Delta=16-40=-24<0$, donc $S_3=\varnothing$. On peut aussi écrire $2x^2+4x+5=2(x+1)^2+3>0$, ce qui explique directement l’absence de zéro réel.

Exercice 5 - Le coefficient dominant est négatif

Résoudre $-2x^2+7x-3\ge0$.

Correction. Le discriminant vaut $49-24=25$. Les racines sont $(-7+5)/(-4)=1/2$ et $(-7-5)/(-4)=3$. Le trinôme a le signe négatif de son coefficient dominant à l’extérieur, et il est positif entre les racines. L’inégalité étant large, $S=[1/2;3]$. Tester $x=1$ donne $2>0$, ce qui confirme le signe au milieu.

Exercice 6 - Quotient strictement négatif

Résoudre $(x-4)/(x+1)<0$.

Correction. La valeur $-1$ est interdite et $4$ annule le numérateur. Sur $]-\infty;-1[$, les deux facteurs sont négatifs : quotient positif. Sur $]-1;4[$, le numérateur est négatif et le dénominateur positif : quotient négatif. Sur $]4;+\infty[$, les deux sont positifs. Donc $S=]-1;4[$. La borne $4$ est exclue parce qu’un quotient nul ne vérifie pas une inégalité stricte.

Exercice 7 - Deux contraintes simultanées

Résoudre le système d’inéquations $x^2-5x+6\le0$ et $2x-1>3$.

Correction. Le trinôme se factorise en $(x-2)(x-3)$. Son coefficient dominant est positif, donc la première condition équivaut à $x\in[2;3]$. La seconde équivaut à $x>2$. On prend l’intersection : $S=]2;3]$. Le point $2$ vérifie la première condition mais pas la seconde ; le point $3$ vérifie les deux.

Exercice 8 - Éliminer une inconnue

Résoudre $2x+3y=31$ et $3x+2y=29$.

Correction. Multiplier la première équation par $3$ et la seconde par $2$ donne $6x+9y=93$ et $6x+4y=58$. Leur différence fournit $5y=35$, donc $y=7$. Dans la première, $2x+21=31$, d’où $x=5$. Le couple unique $(5;7)$ vérifie aussi $15+14=29$. On n’intervertit pas les deux coordonnées : leur rôle est fixé par les inconnues.

Exercice 9 - Deux systèmes sans solution unique

Comparer les systèmes $2x-y=4$, $4x-2y=8$ et $2x-y=4$, $4x-2y=9$.

Correction. Dans le premier, la seconde équation est le double de la première. Pour chaque réel $x$, le choix $y=2x-4$ convient ; il y a une infinité de couples solutions. Dans le second, doubler la première égalité donne $4x-2y=8$, incompatible avec $4x-2y=9$. Il n’existe aucun couple solution. Géométriquement, il s’agit respectivement de deux droites confondues et de deux droites strictement parallèles.

Exercice 10 - Billetterie fictive

On vend $18$ billets : certains à $70$ DH, les autres à $40$ DH. La recette totale est $1\,050$ DH. Déterminer les deux quantités.

Correction. Soient $a$ le nombre de billets à $70$ DH et $b$ celui des billets à $40$ DH. Alors $a+b=18$ et $70a+40b=1050$. Soustraire $40(a+b)=720$ donne $30a=330$, donc $a=11$ et $b=7$. Ces deux entiers sont positifs, leur somme vaut $18$ et $70\times11+40\times7=770+280=1050$ DH.

Exercice 11 - Une aire minimale imposée

Un rectangle a un périmètre de $30$ cm. Pour quelles longueurs de côté son aire est-elle au moins $54$ cm$^2$ ?

Correction. Si un côté mesure $x$ cm, l’autre mesure $15-x$ cm ; le domaine géométrique est $0<x<15$. L’aire est $x(15-x)$, donc $$x(15-x)\ge54\iff x^2-15x+54\le0\iff(x-6)(x-9)\le0.$$ Cela donne $6\le x\le9$, entièrement dans le domaine autorisé. Chaque côté doit donc être compris entre $6$ et $9$ cm, avec somme $15$ cm. Les extrémités donnent un rectangle $6\times9$ d’aire $54$ ; au milieu, $7{,}5\times7{,}5=56{,}25$ cm$^2$.

Exercice 12 - Bénéfice et nombre entier

Dans un modèle fictif, vendre $n$ lots produit un bénéfice $B(n)=-n^2+12n-20$ DH. On impose $n\in\mathbb{N}$. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?

Correction. On factorise $B(n)=-(n-2)(n-10)$. Le coefficient dominant étant négatif, $B(n)>0$ exactement pour $2<n<10$ sur les réels. Les quantités autorisées étant entières, on conserve $$n\in\{3;4;5;6;7;8;9\}.$$ Les quantités $2$ et $10$ donnent un bénéfice nul, pas strictement positif. Le résultat ne se limite pas à une seule quantité : l’inéquation décrit toutes les quantités qui satisfont l’objectif.

Exercice 13 - Marge uniforme d’une affiche

Une affiche rectangulaire de $30$ cm sur $20$ cm reçoit une marge de même largeur $t$ tout autour. La surface totale, affiche et marge comprises, doit être $816$ cm$^2$. Déterminer la largeur de la marge.

Correction. La largeur $t$ doit être positive ou nulle. Les dimensions extérieures sont $30+2t$ et $20+2t$, car la marge apparaît de chaque côté. L’équation d’aire est $$(30+2t)(20+2t)=816\iff t^2+25t-54=0.$$ Le discriminant vaut $25^2+216=841=29^2$. Les racines sont $(-25+29)/2=2$ et $(-25-29)/2=-27$. La racine négative n’a pas de sens pour une marge ; on conserve $t=2$ cm. Les dimensions extérieures sont alors $34$ cm sur $24$ cm et leur produit vaut bien $816$ cm$^2$. Utiliser $30+t$ au lieu de $30+2t$ aurait oublié l’un des deux bords.

Dernier contrôle

Valeurs interdites, sens des inégalités, signe du coefficient dominant, bornes incluses ou exclues et contraintes du contexte : vérifier ces cinq points avant de conclure. Remplacer une solution dans les équations initiales permet souvent de détecter une erreur de calcul.

Fin du cours et des exercices corrigés