Dérivation et étude de fonctions - Cours et exercices corrigés | 2e Bac lettres, sciences humaines et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Étudier des fonctions polynomiales, homographiques et racines simples; lire et exploiter leurs courbes. Les parties indiquées Arts appliqués complètent le socle commun par les compositions, les primitives et les asymptotes obliques. Le socle Lettres et Sciences humaines convient aussi à la filière Langue arabe de l’enseignement originel.

Organiser une étude

On commence par le domaine : un dénominateur doit être non nul; l’expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. On conserve ces conditions après une simplification. Puis on calcule les limites utiles, la dérivée là où elle existe, son signe et les variations.

Dérivées à connaître

Sur les domaines où les expressions sont dérivables, $$(c)'=0,\quad (x^m)'=mx^{m-1},\quad (1/x)'=-1/x^2,\quad (\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}\quad(x>0).$$ Pour la puissance, $m$ est un entier; $m=0$ donne la fonction constante $1$. Les règles de calcul sont $$(u+v)'=u'+v',\qquad(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).$$ Une dérivée positive sur un intervalle donne une fonction croissante; une dérivée négative donne une fonction décroissante. Un zéro de $f'$ ne donne un extremum que si l’étude du signe le confirme.

Tangente et approximation

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}.$$ Pour $h$ petit, $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$ est une approximation locale, pas une égalité exacte. Il faut préciser le point de départ et conserver les unités éventuelles.

Symétries utiles

Si le domaine est symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=f(x)$, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Si, sur ce domaine symétrique, $f(-x)=-f(x)$, elle possède l’origine pour centre. Plus généralement, si le domaine est symétrique par rapport à $a$ et si $f(a+h)+f(a-h)=2b$ pour tout $h$ admissible, la courbe possède $(a,b)$ pour centre.

Un polynôme du troisième degré

Étudions $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Elle est positive sur $]-\infty;-1[$ et $]1;+\infty[$, négative sur $]-1;1[$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

Le maximum local vaut $2$ en $-1$, le minimum local vaut $-2$ en $1$. Ils ne sont pas des extrema sur tout $\mathbb{R}$, car les limites sont infinies. Le terme $x^3$ détermine ces limites : $f(x)=x^3(1-3/x^2)$ pour $x\ne0$.

La fonction est impaire. Les zéros vérifient $x(x^2-3)=0$, donc sont $-\sqrt3$, $0$ et $\sqrt3$. Ces informations permettent une courbe cohérente :

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Résoudre avec une courbe

L’équation $f(x)=\lambda$ correspond aux intersections avec la droite horizontale $y=\lambda$. L’inéquation $f(x)\leq\lambda$ correspond aux portions de courbe situées sous cette droite, points d’égalité compris. La figure suggère que $f(x)=2$ admet $-1$ et $2$; la factorisation $f(x)-2=(x+1)^2(x-2)$ le confirme exactement.

Signe de la fonction et signe de la dérivée

Le signe de $f$ situe sa courbe au-dessus ou au-dessous de l’axe horizontal. Le signe de $f'$ indique si elle monte ou descend. Une fonction peut être négative et croissante.

Une fonction homographique

Considérons $h(x)=(2x+1)/(x-1)$. Son domaine est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. La division donne $$h(x)=2+\frac3{x-1},\qquad h'(x)=-\frac3{(x-1)^2}<0.$$ La fonction décroît sur chacun des intervalles $]-\infty;1[$ et $]1;+\infty[$. Il serait incorrect d’en déduire une décroissance sur l’ensemble discontinu du domaine.

Limites et asymptotes

$$\lim_{x\to-\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=2,\qquad \lim_{x\to1^-}h(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to1^+}h(x)=+\infty.$$ La courbe admet l’asymptote horizontale $y=2$ et l’asymptote verticale $x=1$. Le signe de $h(x)-2=3/(x-1)$ la place sous $y=2$ pour $x<1$, au-dessus pour $x>1$.

$x$	$-\infty$		$1$	$1$		$+\infty$
$h(x)$	$2$	$\searrow$	$-\infty$	$+\infty$	$\searrow$	$2$

Les valeurs $2$ aux extrémités indiquent des limites, non des valeurs atteintes à l’infini. Pour $t\ne0$, $$h(1+t)+h(1-t)=\left(2+\frac3t\right)+\left(2-\frac3t\right)=4.$$ Le point $(1,2)$ est donc un centre de symétrie.

Une équation et une inéquation

L’équation $h(x)=0$ donne $2x+1=0$, donc $x=-1/2$, bien admis. Pour $h(x)\leq3$, on écrit plutôt $$h(x)-3=\frac{4-x}{x-1}\leq0.$$ Les valeurs critiques sont $1$, exclu, et $4$, où le numérateur s’annule. Le quotient est négatif pour $x<1$, positif pour $1<x<4$, négatif pour $x>4$. Ainsi $$\boxed{x\in]-\infty;1[\ \cup\ [4;+\infty[}.$$ Multiplier directement par $x-1$ sans connaître son signe aurait pu inverser ou perdre une partie de la réponse.

Une racine affine et son approximation

Pour $r(x)=\sqrt{2x+4}$, la condition $2x+4\geq0$ donne $D=[-2;+\infty[$. Pour $x>-2$, $$r'(x)=\frac2{2\sqrt{2x+4}}=\frac1{\sqrt{2x+4}}>0.$$ La fonction croît de $r(-2)=0$ vers $+\infty$. Le point $-2$ appartient au domaine, mais pas au domaine de la formule de dérivée. Le quotient à droite vaut, pour $h>0$, $$\frac{r(-2+h)-r(-2)}h=\frac{\sqrt{2h}}h=\frac{\sqrt2}{\sqrt h}\longrightarrow+\infty.$$ La courbe possède une demi-tangente verticale au point $(-2,0)$.

Tangente en un point intérieur

En $0$, $r(0)=2$ et $r'(0)=1/2$. La tangente a pour équation $y=2+x/2$. Pour $x$ proche de $0$, $r(x)\approx2+x/2$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Pour estimer $\sqrt{4{,}04}$, on prend $2x+4=4{,}04$, donc $x=0{,}02$. L’approximation vaut $2{,}01$. Elle est légèrement supérieure à la valeur exacte, puisque $2{,}01^2=4{,}0401>4{,}04$. Plus précisément, $$2{,}01-\sqrt{4{,}04}=\frac{0{,}0001}{2{,}01+\sqrt{4{,}04}}<0{,}000025.$$ Une approximation locale doit être distinguée d’une formule exacte. Ici, la quantité conjuguée permet même de contrôler l’écart sans théorème supplémentaire.

Compléments pour Arts appliqués

Dériver une composition

Si $u$ est dérivable et $f$ dérivable aux valeurs de $u$, alors $$\boxed{(f\circ u)'(x)=u'(x)f'(u(x))}.$$ Ainsi $(f(ax+b))'=af'(ax+b)$ et, pour un entier $m$, $(u^m)'=mu'u^{m-1}$ sur le domaine approprié. Pour $m=0$, on traite la fonction constante $1$ directement. On a $(\sqrt u)'=u'/(2\sqrt u)$ lorsque $u>0$.

Conserver la dérivée intérieure

Pour $g(x)=(3x-2)^5$, $g'(x)=15(3x-2)^4$. Pour $k(x)=1/(x^2+2)$, $k'(x)=-2x/(x^2+2)^2$. L’expression $x^2+2$ reste positive sur $\mathbb{R}$.

Primitives sur un intervalle

Une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle $I$ vérifie $F'=f$ sur $I$. Si $F$ est une primitive, elles sont toutes $F+C$, avec $C\in\mathbb{R}$. Une condition $F(a)=b$ fixe $C$. On reconnaît les primitives en lisant les règles de dérivation en sens inverse, puis on vérifie par dérivation. $$k\longmapsto kx,\qquad x^m\longmapsto\frac{x^{m+1}}{m+1}\quad(m\in\mathbb{Z},\ m\ne-1),\qquad \frac1{\sqrt x}\longmapsto2\sqrt x\quad(x>0).$$ Chaque formule est employée sur un intervalle où elle est définie. Le cas $1/x$ sera traité avec le logarithme dans le chapitre suivant. On peut additionner les primitives et les multiplier par une constante. Pour un entier $m\ne-1$, $$u'u^m\longmapsto\frac{u^{m+1}}{m+1},$$ avec les mêmes conditions de domaine. Par exemple, une primitive de $6x(x^2+1)^2$ est $(x^2+1)^3$; sa dérivée redonne exactement l’expression initiale.

Lire une asymptote oblique

Si $f(x)=ax+b+g(x)$ et $g(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$ ou $-\infty$, la droite $y=ax+b$ est une asymptote à cette extrémité. La différence $g=f-(ax+b)$ donne aussi la position relative : positive, la courbe est au-dessus; négative, au-dessous. Par exemple, $$\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac2{x-1}$$ admet $y=x+1$ pour asymptote aux deux infinis. La courbe est sous cette droite pour $x<1$ et au-dessus pour $x>1$; $x=1$ demeure exclu.

Exercices corrigés - Domaines et polynômes

Exercice 1 - Une simplification avec un trou

Soit $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$. Déterminer le domaine, simplifier et décrire la courbe. Solution. Le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Pour $x\ne2$, $$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$ La courbe est donc la droite $y=x+2$, privée du point $(2,4)$. On a $f'(x)=1$ sur le domaine, et $\lim_{x\to2}f(x)=4$, mais $f(2)$ n’existe pas. La limite ne réintroduit pas automatiquement une valeur dans la définition.

Exercice 2 - Maximum et niveau

Étudier $f(x)=-x^2+6x-5$, puis résoudre $f(x)\geq3$. Solution. On a $$f(x)=4-(x-3)^2,\qquad f'(x)=6-2x.$$ La fonction croît jusqu’à $3$, puis décroît. Son maximum est $4$, atteint en $3$; aux deux infinis, elle tend vers $-\infty$. L’axe $x=3$ est un axe de symétrie et les zéros sont $1$ et $5$. Enfin, $$f(x)\geq3\ \Longleftrightarrow\ (x-3)^2\leq1\ \Longleftrightarrow\ \boxed{x\in[2;4]}.$$

Exercice 3 - Cubique et tangente

Étudier les variations de $g(x)=x^3-3x^2$, préciser ses extrema locaux et trouver la tangente en $1$. Solution. La dérivée est $$g'(x)=3x(x-2).$$ Elle est positive pour $x<0$, négative pour $0<x<2$, positive pour $x>2$. La fonction croît jusqu’au maximum local $g(0)=0$, décroît jusqu’au minimum local $g(2)=-4$, puis croît. Ses limites sont $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite. En $1$, $g(1)=-2$ et $g'(1)=-3$, donc $$y=-2-3(x-1)=\boxed{-3x+1}.$$ La factorisation $g(x)=x^2(x-3)$ donne les zéros $0$ et $3$. Un extremum local n’est pas nécessairement le plus grand ou le plus petit niveau de toute la courbe.

Exercices corrigés - Quotient, racine et lecture

Exercice 4 - Une homographie croissante

Étudier $h(x)=(3x-1)/(x+1)$ et résoudre $h(x)\leq1$. Solution. Sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $$h(x)=3-\frac4{x+1},\qquad h'(x)=\frac4{(x+1)^2}>0.$$ La fonction croît séparément sur les deux intervalles. Aux deux infinis, la limite est $3$; en $-1^-$, elle vaut $+\infty$, et en $-1^+$, $-\infty$. Les asymptotes sont $x=-1$ et $y=3$, avec centre $(-1,3)$. Pour l’inéquation, $$h(x)-1=\frac{2(x-1)}{x+1}\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{x\in]-1;1]}.$$ Le point $-1$ est exclu; $1$ est inclus car il donne l’égalité.

Exercice 5 - Racine décroissante

Étudier $r(x)=\sqrt{9-3x}$ et sa tangente en $0$. Solution. Le domaine est $]-\infty;3]$; pour $x<3$, $$r'(x)=-\frac3{2\sqrt{9-3x}}<0.$$ La fonction décroît de $+\infty$ à $0$. En $0$, $r(0)=3$ et $r'(0)=-1/2$, donc la tangente est $\boxed{y=3-x/2}$. À gauche de $3$, $$\frac{r(x)-r(3)}{x-3}=-\frac{\sqrt3}{\sqrt{3-x}}\to-\infty.$$ La demi-tangente au point $(3,0)$ est verticale. Le signe négatif du quotient correspond à l’approche par la gauche.

Exercice 6 - Un niveau touché et traversé

Pour $f(x)=x^3-3x$, résoudre $f(x)\geq2$. Solution. On factorise $$f(x)-2=x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2).$$ Le carré est positif hors $x=-1$, où il s’annule. Pour $x\ne-1$, le signe est donc celui de $x-2$. Il faut conserver le zéro isolé $-1$, qui satisfait l’égalité. La réponse est $$\boxed{x\in\{-1\}\ \cup\ [2;+\infty[}.$$ Sur la figure, la droite $y=2$ touche le maximum en $-1$ et est traversée en $2$.

Exercices corrigés - Compléments Arts appliqués

Exercice 7 - Composer puis retrouver une primitive

Calculer la dérivée de $h(x)=(2x-1)^4+1/(x^2+1)$. Puis déterminer la primitive $F$ de $f(x)=2x(x^2+1)^3$ telle que $F(0)=0$. Solution. Toutes les expressions sont définies sur $\mathbb{R}$. Les dérivées intérieures donnent $$\boxed{h'(x)=8(2x-1)^3-\frac{2x}{(x^2+1)^2}}.$$ Pour la primitive, on reconnaît $u=x^2+1$ et $u'=2x$. Ainsi $$F(x)=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C.$$ La condition initiale impose $1/4+C=0$, donc $$\boxed{F(x)=\frac{(x^2+1)^4-1}{4}}.$$ Le contrôle donne $F'=4(x^2+1)^3(2x)/4=2x(x^2+1)^3$ et $F(0)=0$. Le coefficient $1/4$ est indispensable.

Exercice 8 - Une courbe près d’une droite

Soit $g(x)=(x^2+3)/(x+1)$. Trouver une asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à cette droite. Solution. Le domaine exclut $-1$. La division donne $$g(x)=x-1+\frac4{x+1}.$$ Comme $4/(x+1)\to0$ aux deux infinis, la droite $$\boxed{y=x-1}$$ est une asymptote aux deux extrémités. La différence est négative pour $x<-1$ et positive pour $x>-1$. La courbe est donc sous la droite à gauche de $-1$, au-dessus à droite. Cette différence ne s’annule jamais : la courbe ne coupe pas son asymptote dans cet exemple.

Contrôler une étude de fonctions

Le domaine, les limites, le signe de la dérivée, les valeurs remarquables et la figure doivent être compatibles. Une tangente passe par le point étudié. Une primitive se vérifie en la dérivant. Une asymptote oblique se vérifie en calculant la limite de la différence avec la droite.