Dérivation et applications - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Calculer un nombre dérivé et une fonction dérivée, déterminer une tangente et une approximation affine, étudier les dérivées latérales et la dérivée seconde, puis utiliser le signe de la dérivée pour les variations et les extrema. Les applications économiques sont des modèles scolaires continus.

Le nombre dérivé : une variation locale

Du taux moyen au taux instantané

Pour deux valeurs distinctes $a$ et $a+h$, le quotient $$\frac{f(a+h)-f(a)}h$$ est le taux de variation moyen de $f$ entre ces deux entrées. Géométriquement, c’est la pente de la droite joignant les points correspondants de la courbe.

Dérivabilité en un point intérieur

Si $f$ est définie sur un intervalle ouvert contenant $a$, elle est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation admet une limite réelle finie quand $h\to0$. Cette limite est le nombre dérivé : $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.$$ On peut aussi écrire $\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

Une limite infinie du taux ne donne pas un nombre dérivé réel. Aux extrémités d’un domaine, on précisera l’approche latérale disponible.

Exemple - Calcul à partir de la définition

Pour $f(x)=x^2$ et $h\ne0$, $$\frac{(a+h)^2-a^2}h=2a+h\longrightarrow2a.$$ Donc $f'(a)=2a$ pour tout réel $a$. En particulier, $f'(3)=6$.

Interpréter l’unité

Si $C(x)$ est un coût exprimé en unités monétaires et $x$ une quantité, le taux $[C(a+h)-C(a)]/h$ s’exprime en coût par unité de quantité. Le nombre $C'(a)$ décrit la variation locale du coût par unité supplémentaire dans le modèle continu.

Le signe de $f'(a)$ décrit la pente de la tangente au point ; il ne suffit pas, à lui seul, à prouver les variations sur tout un intervalle. Pour cela, on étudie la dérivée sur cet intervalle.

Tangente et approximation affine

L’équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe au point $A(a;f(a))$ est la droite $$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}.$$ Elle passe par $A$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$. Si $f'(a)=0$, la tangente est horizontale, d’équation $y=f(a)$.

Exemple - La parabole au point d’abscisse $1$

Pour $f(x)=x^2$, $f(1)=1$ et $f'(1)=2$. La tangente est $y=1+2(x-1)=2x-1$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Remplacer localement par une expression affine

Pour un petit accroissement $h$, on utilise $$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.$$ Plus précisément, la définition du nombre dérivé permet d’écrire $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varepsilon(h)$, avec $\varepsilon(h)\to0$. L’approximation affine ne fournit donc pas automatiquement une erreur chiffrée pour un $h$ donné ; on vérifie cette erreur séparément si elle est demandée.

Exemple - Une racine proche d’un carré connu

Pour $f(x)=\sqrt x$ au voisinage de $4$, $f(4)=2$ et $f'(4)=1/4$. Ainsi $\sqrt{4{,}04}\approx2+0{,}04/4=2{,}01$. L’expression est une approximation, pas une égalité.

Quatre approximations usuelles près de zéro

$$(1+h)^2\approx1+2h,\qquad(1+h)^3\approx1+3h,$$ $$\sqrt{1+h}\approx1+\frac h2,\qquad\frac1{1+h}\approx1-h.$$ Les deux dernières expressions nécessitent respectivement $1+h\ge0$ et $1+h\ne0$ ; pour utiliser la dérivabilité autour de $h=0$, on travaille dans un petit voisinage où ces conditions sont satisfaites.

Dérivées latérales et demi-tangentes

Deux taux latéraux

La dérivée à droite en $a$ est la limite finie du taux $[f(a+h)-f(a)]/h$ quand $h\to0^+$. La dérivée à gauche utilise $h\to0^-$. Si $f$ est définie de part et d’autre de $a$, elle est dérivable en $a$ exactement lorsque ces deux limites sont finies et égales.

Exemple - Un point anguleux

Pour $f(x)=|x|$, $f(0)=0$ et, pour $h\ne0$, $$\frac{|h|}h=\begin{cases}-1&h<0,\\1&h>0.\end{cases}$$ Les dérivées latérales sont $-1$ et $1$. Elles sont différentes : la fonction n’est pas dérivable en $0$. Sa courbe possède deux demi-tangentes, portées par $y=-x$ à gauche et $y=x$ à droite.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Une demi-tangente verticale

Pour $g(x)=\sqrt x$ au point $0$, le taux à droite est $$\frac{\sqrt h-0}h=\frac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty\quad(h\to0^+).$$ Il n’y a pas de dérivée droite finie. La courbe possède une demi-tangente verticale portée par la droite $x=0$. Une pente infinie ne doit pas être écrite comme le coefficient d’une équation $y=mx+b$.

Le calcul au raccord se fait avec la valeur du point

Pour une fonction définie par morceaux, les dérivées des formules sur les intervalles ouverts ne suffisent pas. Au point de raccord $a$, calculer les taux latéraux à partir de $f(a)$, puis comparer leurs limites.

Fonctions dérivées et règles de calcul

Si $f$ est dérivable à chaque point d’un intervalle ouvert $I$, la fonction $f'$ associe à chaque $x\in I$ le nombre dérivé $f'(x)$.

Fonction	Dérivée	Conditions
$c$	$0$	$x\in\mathbb{R}$
$x$	$1$	$x\in\mathbb{R}$
$x^n$, $n\ge1$ entier	$nx^{n-1}$	$x\in\mathbb{R}$
$x^n$, $n<0$ entier	$nx^{n-1}$	$x\ne0$
$\sqrt x$	$1/(2\sqrt x)$	$x>0$

Les formules suivantes supposent que $u,v$ sont dérivables sur l’intervalle où l’on calcule, et que $\lambda$ est une constante : $$(u+v)'=u'+v',\qquad(\lambda u)'=\lambda u',\qquad (uv)'=u'v+uv',$$ $$\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2},\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).$$

Puissances, racines et changement affine de variable

Pour un entier $n\ne0$, $$(u^n)'=nu'u^{n-1},$$ avec la condition supplémentaire $u\ne0$ si $n<0$. La puissance constante d’exposant zéro se traite séparément sur son domaine de définition.

Si $u>0$, alors $\displaystyle(\sqrt u)'=u'/(2\sqrt u)$. La formule n’est pas applicable aux points où $u=0$ : on y revient à la définition si nécessaire.

Si $f$ est dérivable aux valeurs $ax+b$ considérées, alors $$\bigl(f(ax+b)\bigr)'=a f'(ax+b).$$ Le facteur $a$ provient de la variation de l’expression intérieure. Ainsi $(3x-1)^4$ a pour dérivée $12(3x-1)^3$.

Deux erreurs fréquentes

La dérivée d’un produit n’est pas $u'v'$, et celle d’un quotient n’est pas $u'/v'$. Écrire la règle avec ses deux termes avant de simplifier. Une simplification algébrique ne dispense jamais de conserver le domaine initial.

Organiser le calcul et dériver une seconde fois

Exemple - Quotient puis factorisation

Pour $H(x)=(x^2+3)/(x+1)$, le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. La dérivée existe sur chacun des intervalles du domaine : $$H'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+3)}{(x+1)^2} =\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2} =\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.$$ La forme factorisée est adaptée à l’étude du signe ; le dénominateur est strictement positif sur le domaine.

Exemple - Racine d’une expression

La fonction $F(x)=\sqrt{9-x^2}$ est définie sur $[-3;3]$. Pour $-3<x<3$, le radicand est strictement positif et $$F'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}.$$ La formule permet de dériver sur $]-3;3[$ ; elle ne donne aucune valeur de $F'$ aux extrémités. Leur étude éventuelle exige des taux latéraux.

Exemple - Puissance négative

Pour $G(x)=-2/(3x-1)^2=-2(3x-1)^{-2}$, $x\ne1/3$, on obtient $$G'(x)=-2\times(-2)\times3(3x-1)^{-3}=\frac{12}{(3x-1)^3}.$$

La dérivée seconde

Lorsque $f'$ est elle-même dérivable sur un intervalle, sa dérivée est notée $f''$ et appelée dérivée seconde. On calcule d’abord $f'$, puis on dérive cette nouvelle fonction.

Pour $q(x)=x^3-6x^2+9x+20$, $$q'(x)=3x^2-12x+9,\qquad q''(x)=6x-12.$$ Le signe de $q''$ renseigne sur les variations de $q'$ ; son lien avec la convexité de la courbe sera utilisé dans l’étude des fonctions.

Contrôler une réponse

Préciser le domaine de dérivabilité ; identifier les opérations ; appliquer les règles en conservant les parenthèses ; simplifier seulement ensuite. Une valeur numérique du taux de variation peut servir de contrôle, mais ne remplace pas la justification du calcul.

Variations, extrema et applications

Relier signe de la dérivée et monotonie

Sur un intervalle ouvert $I$ où $f$ est dérivable, $f'\ge0$ implique que $f$ est croissante, et $f'\le0$ implique qu’elle est décroissante. Si $f'>0$ partout, la croissance est stricte ; si $f'<0$ partout, la décroissance est stricte. Si $f'=0$ partout sur $I$, la fonction est constante.

Pour les fonctions de référence étudiées ici, les valeurs aux extrémités où la formule est définie permettent de compléter les tableaux. On ne relie pas par une flèche deux intervalles séparés par une valeur interdite.

Un point critique n’est pas automatiquement un extremum

Si $f$ est dérivable en un point intérieur où elle admet un extremum local, alors $f'$ y est nulle. La réciproque est fausse : pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$, mais $f$ continue de croître de part et d’autre de $0$.

Lorsque $f'$ passe de positif à négatif en $a$, $f$ présente un maximum local ; le passage de négatif à positif donne un minimum local. Sur un intervalle fermé de modèle, on compare aussi les valeurs aux extrémités pour déterminer les extrema globaux.

Exemple - Optimiser un bénéfice

Sur $[0;30]$, soit $P(x)=-2x^2+80x-200$. On a $P'(x)=80-4x$, positive avant $20$ et négative après. Donc $P$ croît jusqu’à $20$, puis décroît. Les valeurs sont $P(0)=-200$, $P(20)=600$ et $P(30)=400$ : le maximum est $600$ en $20$, le minimum est $-200$ en $0$.

Exemple - Un coût moyen minimal

Pour $M(x)=x+16/x$, $x>0$, $$M'(x)=1-\frac{16}{x^2}=\frac{(x-4)(x+4)}{x^2}.$$ Le signe est négatif avant $4$, positif après. Le minimum est $M(4)=8$. On peut le contrôler sans dérivée par $M(x)-8=(x-4)^2/x\ge0$.

Coût marginal et coût d’une unité entière

Dans un modèle continu, $C'(a)$ est un coût marginal local. Pour $C(x)=x^2+16$, on a $C'(a)=2a$, tandis que $C(a+1)-C(a)=2a+1$. La dérivée peut servir d’approximation ; elle n’est pas en général le coût exact de l’unité entière suivante.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Revenir au taux de variation

Pour $f(x)=3x^2-2x+5$, calculer $f'(2)$ par la définition et écrire la tangente en $2$.

Solution. $f(2)=13$. En développant, $f(2+h)=13+10h+3h^2$. Pour $h\ne0$, le taux vaut $10+3h$, de limite $10$. Ainsi $f'(2)=10$ et la tangente est $y=13+10(x-2)=10x-7$.

Exercice 2 - Quatre dérivées et leurs domaines

Dériver $A(x)=x^4-3x^2+2x-7$, $B(x)=(2x-1)^5$, $C(x)=(x+1)^{-2}$ et $D(x)=\sqrt{5-2x}$.

Solution. Les deux premières fonctions sont dérivables sur $\mathbb{R}$ : $$A'(x)=4x^3-6x+2,\qquad B'(x)=10(2x-1)^4.$$ Pour $x\ne-1$, $C'(x)=-2(x+1)^{-3}=-2/(x+1)^3$.

La fonction $D$ est définie pour $x\le5/2$. La formule de la racine s’applique lorsque $x<5/2$ et donne $D'(x)=-1/\sqrt{5-2x}$. Le point $5/2$ est dans le domaine de $D$, mais pas dans ce domaine de dérivabilité usuelle.

Exercice 3 - Produit et quotient

Dériver $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$ et $g(x)=(2x+1)/(x-3)$.

Solution. La règle du produit donne sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=2x(3x-2)+3(x^2+1)=9x^2-4x+3.$$ Pour $x\ne3$, la règle du quotient donne $$g'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2}=-\frac7{(x-3)^2}.$$ Le dénominateur reste au carré ; le facteur $-7$ montre que $g$ décroît strictement sur chacun des intervalles $]-\infty;3[$ et $]3;+\infty[$.

Exercice 4 - Tangente et estimation d’une racine

Pour $f(x)=\sqrt{2x+3}$, écrire la tangente en $a=3$, puis utiliser une approximation affine pour estimer $f(3{,}02)$.

Solution. La fonction est dérivable pour $x>-3/2$, avec $f'(x)=1/\sqrt{2x+3}$. Ainsi $f(3)=3$ et $f'(3)=1/3$. La tangente est $$y=3+\frac{x-3}{3}=\frac x3+2.$$ Pour $h=0{,}02$, l’estimation est $f(3{,}02)\approx3+0{,}02/3\approx3{,}006667$. Elle estime $\sqrt{9{,}04}$ ; le signe $\approx$ est nécessaire.

Exercice 5 - Calculer aussi l’erreur

Utiliser une approximation affine pour estimer $(0{,}98)^2$ et $1/1{,}01$, puis déterminer l’erreur exacte dans chaque cas.

Solution. Avec $h=-0{,}02$, $(1+h)^2\approx1+2h=0{,}96$. L’identité $(1+h)^2=1+2h+h^2$ montre une erreur positive $h^2=0{,}0004$. La valeur exacte est $0{,}9604$.

Avec $h=0{,}01$, $1/(1+h)\approx1-h=0{,}99$. Or $$\frac1{1+h}-(1-h)=\frac{h^2}{1+h}.$$ L’erreur vaut exactement $1/10100$, environ $0{,}00009901$. Les deux approximations sont ici inférieures aux valeurs exactes ; cette conclusion vient des identités, pas de la seule règle d’approximation.

Exercice 6 - Un raccord et un angle

La fonction $f$ vaut $x^2$ pour $x\le1$, et $2x-1$ pour $x>1$. Est-elle dérivable en $1$ ? Comparer avec $g(x)=|x-1|$.

Solution. $f(1)=1$. À gauche, pour $h<0$, le taux est $[(1+h)^2-1]/h=2+h$, de limite $2$. À droite, il vaut $[2(1+h)-1-1]/h=2$. Les limites sont finies et égales : $f'(1)=2$, et la tangente est $y=2x-1$.

Pour $g$, $g(1)=0$ et le taux est $|h|/h$, de limites $-1$ à gauche et $1$ à droite. La fonction $g$ n’est donc pas dérivable en $1$ ; elle possède un point anguleux.

Exercice 7 - Une extrémité à demi-tangente verticale

Étudier le taux de variation à droite de $a=-2$ pour $f(x)=\sqrt{x+2}$, et préciser la conséquence géométrique.

Solution. Le domaine est $[-2;+\infty[$ et $f(-2)=0$. Pour $h>0$, $$\frac{f(-2+h)-f(-2)}h=\frac{\sqrt h}h=\frac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty.$$ Il n’existe pas de dérivée droite finie en $-2$. La courbe possède une demi-tangente verticale portée par $x=-2$. Pour $x>-2$, la dérivée existe et vaut $1/(2\sqrt{x+2})$ ; cette formule n’est pas définie à l’extrémité.

Exercice 8 - Deux dérivées successives

Calculer $f'$ et $f''$ pour $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$, puis $g'$ et $g''$ pour $g(x)=1/(x+1)$.

Solution. Sur $\mathbb{R}$, $$f'(x)=3x^2-6x+2,\qquad f''(x)=6x-6.$$ Sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, on écrit $g(x)=(x+1)^{-1}$, d’où $$g'(x)=-(x+1)^{-2},\qquad g''(x)=2(x+1)^{-3}.$$ La dérivée seconde de $g$ est négative sur $]-\infty;-1[$ et positive sur $]-1;+\infty[$. Le point $-1$ reste interdit ; ce n’est pas un point de la courbe.

Exercice 9 - Minimiser un coût moyen

Pour $q>0$, un coût total est $C(q)=q^2+36$. Déterminer la quantité qui minimise le coût moyen $M(q)=C(q)/q$.

Solution. $M(q)=q+36/q$ et $$M'(q)=1-\frac{36}{q^2}=\frac{(q-6)(q+6)}{q^2}.$$ Pour $q>0$, le signe est celui de $q-6$ : négatif sur $]0;6[$, nul en $6$, positif sur $]6;+\infty[$. La fonction décroît puis croît ; le minimum global est $M(6)=12$.

On contrôle ce résultat avec $M(q)-12=(q-6)^2/q\ge0$, avec égalité uniquement en $6$. Si les quantités doivent être entières, $6$ reste admissible ; pour un optimum non entier, il faudrait comparer les quantités entières voisines admissibles.

Exercice 10 - Bénéfice, optimum et seuil de rentabilité

Pour $x\in[0;50]$, une recette est $R(x)=100x-x^2$ et un coût est $C(x)=20x+300$. Étudier le bénéfice $P=R-C$, déterminer son maximum et les quantités pour lesquelles il est positif ou nul.

Solution. On obtient $$P(x)=-x^2+80x-300=1300-(x-40)^2,\qquad P'(x)=80-2x.$$ La dérivée est positive pour $x<40$ et négative pour $x>40$. Le tableau sur le domaine économique est

$x$	$0$		$40$		$50$
$P'(x)$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-300$	$\nearrow$	$1300$	$\searrow$	$1200$

Le maximum est $1300$, atteint pour $x=40$. Le minimum sur le domaine est $-300$, atteint en $0$. La forme canonique confirme que $P(x)\le1300$ avec égalité seulement pour $x=40$.

Pour la rentabilité, $$P(x)\ge0\iff(x-40)^2\le1300 \iff40-10\sqrt{13}\le x\le40+10\sqrt{13}.$$ On intersecte avec $[0;50]$. Comme $40-10\sqrt{13}\approx3{,}944$ et $40+10\sqrt{13}>50$, l’ensemble demandé est $$\boxed{[40-10\sqrt{13};50]}.$$ Si $x$ doit être entier, les quantités rentables sont les entiers de $4$ à $50$. L’optimum $40$ est lui-même entier et respecte la capacité.

Conclure une optimisation

La dérivée fournit les variations. Une réponse complète précise le domaine, les valeurs aux points critiques et aux extrémités, la valeur optimale, la quantité correspondante et les contraintes d’intégralité éventuelles. Un point critique hors du domaine ne peut pas être retenu.