Dérivation et applications - Cours et exercices corrigés | 1re Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Relier taux de variation, nombre dérivé et tangente ; calculer une dérivée en précisant son domaine ; étudier variations et extrema ; utiliser une approximation affine et les dérivées successives.

Parcours. Le cours principal concerne les sciences expérimentales, les sciences et technologies et les sciences mathématiques. Une section distingue les approfondissements SM : preuve du lien entre monotonie et signe de la dérivée, puis limites reconnues comme nombres dérivés. Les angles des fonctions trigonométriques sont exprimés en radians.

Du taux de variation au nombre dérivé

Soit $f$ définie au voisinage d’un réel $a$. Entre les points d’abscisses $a$ et $a+h$, avec $h\ne0$, le taux de variation est $$\tau_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h.$$ Il mesure la variation de $f$ par unité de variation de la variable. Sur le graphique, c’est le coefficient directeur de la sécante joignant les deux points, à condition que leurs abscisses soient distinctes.

Définition

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite réelle finie quand $h\to0$. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ : $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h =\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Le calcul du quotient se fait pour $h\ne0$ ; on ne remplace pas directement $h$ par $0$ dans une expression $0/0$.

Exemple - Retrouver la dérivée d’un carré

Pour $f(x)=x^2$, on obtient, quel que soit $a\in\mathbb{R}$, $$\frac{(a+h)^2-a^2}h=2a+h\longrightarrow2a.$$ Ainsi $f'(a)=2a$. Le nombre dérivé dépend du point choisi : en $1$, il vaut $2$ ; en $-1$, il vaut $-2$.

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. En effet, $f(a+h)-f(a)=h\tau_a(h)$ tend vers $0$. La réciproque est fausse : une courbe peut être continue et présenter un point anguleux.

Dérivées à droite et à gauche

On peut faire tendre $h$ vers $0$ par valeurs positives ou négatives. Les limites finies obtenues sont $f'_d(a)$ et $f'_g(a)$. À un point intérieur du domaine, $f$ est dérivable si ces deux limites existent et sont égales.

Pour $f(x)=|x|$, en $a=0$, le quotient est $|h|/h$. Il vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. La fonction est continue en $0$, mais elle n’y est pas dérivable : ses deux demi-tangentes ont des directions différentes.

Tangente et approximation affine

Équation d’une tangente

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente au point $A(a;f(a))$ a pour équation $$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a).}$$ Il faut connaître à la fois le point de contact et la pente. Lorsque $f'(a)=0$, la tangente est horizontale ; cette seule information ne suffit pas à affirmer que $f(a)$ est un extremum.

Exemple - La parabole au point d’abscisse 1

Pour $f(x)=x^2$, $f(1)=1$ et $f'(1)=2$. La tangente est donc $y=1+2(x-1)=2x-1$. La différence $x^2-(2x-1)=(x-1)^2$ est positive ou nulle : ici la parabole reste au-dessus de cette tangente.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Approcher une fonction près d’un point

La définition donne une écriture $$f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h\varepsilon(h),\qquad \varepsilon(h)\longrightarrow0.$$ Pour $h$ petit, on utilise donc $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$. Le signe $\approx$ ne doit pas être remplacé par une égalité. Sans contrôle supplémentaire du reste, cette approximation ne fournit pas une borne d’erreur garantie.

Au voisinage de $0$, on obtient ainsi $$(1+h)^2\approx1+2h,\quad (1+h)^3\approx1+3h,\quad \frac1{1+h}\approx1-h,\quad \sqrt{1+h}\approx1+\frac h2.$$ Par exemple, $\sqrt{1{,}02}\approx1{,}01$. Les domaines restent à respecter : $1+h>0$ pour la dérivée de la racine, $1+h\ne0$ pour l’inverse.

Tangentes verticales et demi-tangentes

Une limite infinie du taux de variation n’est pas un nombre dérivé réel. Elle peut traduire une tangente verticale, ou une demi-tangente si le point est à une extrémité du domaine. Pour $f(x)=\sqrt x$, définie sur $[0;+\infty[$, $$\frac{f(h)-f(0)}h=\frac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty\quad(h\to0^+).$$ Il existe une demi-tangente verticale d’équation $x=0$ en l’origine, mais pas de dérivée finie en $0$. À l’inverse, $|x|$ possède deux demi-tangentes non verticales en $0$.

Calculer la fonction dérivée

Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chacun de ses points intérieurs ; les extrémités se traitent séparément si nécessaire. Sa fonction dérivée $f'$ associe à chaque point son nombre dérivé.

Fonctions de référence

Fonction	Dérivée	Domaine de validité
$c$ constant	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$, $n\ge1$ entier	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$x^n$, $n<0$ entier	$nx^{n-1}$	$x\ne0$
$1/x$	$-1/x^2$	$x\ne0$
$\sqrt x$	$1/(2\sqrt x)$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$1/\cos^2x$	$\cos x\ne0$

Le cas $n=0$ correspond à la fonction constante $1$. Pour les fonctions trigonométriques, les formules ci-dessus utilisent la mesure en radians. La dérivée de $\tan x$ se retrouve en écrivant $\tan x=\sin x/\cos x$.

Opérations sur les fonctions dérivables

Si $u,v$ sont dérivables sur l’intervalle considéré et $\lambda\in\mathbb{R}$, alors $$(u+v)'=u'+v',\qquad (\lambda u)'=\lambda u',\qquad (uv)'=u'v+uv'.$$ Lorsque $v$ ne s’annule pas, $$\boxed{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}},\qquad \left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}.$$ La dérivée d’un produit n’est pas $u'v'$, et celle d’un quotient n’est pas $u'/v'$. On peut vérifier les conditions avant de développer ou simplifier.

Exemple - Un quotient avec son domaine

Pour $f(x)=(x^2+1)/(x-1)$, le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Sur chacun des deux intervalles de ce domaine, $$f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$ Le dénominateur est positif pour $x\ne1$ : le signe dépend du numérateur. Le point $1$ reste exclu, même après un calcul correct de dérivée.

Puissance, racine et changement affine de variable

Pour un entier $n\ne0$, $$(u^n)'=nu'u^{n-1},\qquad (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u},\qquad \bigl(f(ax+b)\bigr)'=a f'(ax+b).$$ On impose $u\ne0$ pour $n<0$, $u>0$ pour la formule de la racine, et que $f$ soit dérivable en $ax+b$ pour la dernière formule. Lorsque $a=0$, la fonction composée est constante dès qu’elle est définie.

Ainsi $(3x-2)^4$ a pour dérivée $12(3x-2)^3$, $\sqrt{2x+3}$ a pour dérivée $1/\sqrt{2x+3}$ pour $x>-3/2$, et $\sin(3x)$ a pour dérivée $3\cos(3x)$.

Signe de la dérivée, variations et extrema

Sur un intervalle

Pour une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

• si $f'\ge0$ sur $I$, alors $f$ est croissante ; si $f'\le0$, elle est décroissante ;

• si $f'>0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante ; si $f'<0$, elle est strictement décroissante ;

• $f'=0$ partout sur $I$ si et seulement si $f$ est constante sur $I$.

Les résultats restent utilisables sur un intervalle fermé si $f$ est continue aux extrémités et dérivable à l’intérieur. Les réciproques des deux premiers résultats stricts ne sont pas automatiques : $x^3$ est strictement croissante et sa dérivée s’annule en $0$.

L’hypothèse d’intervalle est essentielle. Par exemple, $1/x$ a une dérivée négative sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$. Cela ne permet pas de la déclarer décroissante sur leur réunion : $-1<1$ alors que $f(-1)<f(1)$.

Méthode d’étude

Déterminer le domaine, calculer puis factoriser $f'$, établir son signe, en déduire les variations et calculer les valeurs aux points remarquables. Les limites complètent le tableau aux bornes du domaine. On ne confond pas le signe de $f$ avec celui de $f'$.

Exemple - Une fonction cubique

Pour $f(x)=x^3-3x$, $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. La fonction croît jusqu’à $-1$, décroît de $-1$ à $1$, puis croît après $1$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

Les valeurs $2$ et $-2$ sont des extrema locaux. Il n’y a ni maximum global ni minimum global sur $\mathbb{R}$.

Ce qu’indique une dérivée nulle

Si $f$ admet un extremum local en un point intérieur où elle est dérivable, alors $f'(a)=0$. La condition est nécessaire mais pas suffisante : $x^3$ n’a pas d’extremum en $0$. Un passage de $f'$ de $+$ à $-$ donne un maximum local ; de $-$ à $+$, un minimum local.

Un extremum peut aussi être atteint à une extrémité ou en un point où la fonction n’est pas dérivable. Pour optimiser sur un segment, on compare les valeurs aux points critiques intérieurs et aux deux extrémités.

Dérivées successives et lecture d’une courbe

Lorsque $f'$ est dérivable, sa dérivée est $f''$, la dérivée seconde. On définit de même $f^{(3)}$, etc. Le signe de $f''$ renseigne sur les variations de $f'$ : si $f''\ge0$, les pentes des tangentes augmentent et la courbe est convexe ; si $f''\le0$, elle est concave.

Un point d’inflexion correspond à un changement de convexité. Pour une fonction deux fois dérivable, un changement de signe de $f''$ autour de $a$ permet de le repérer. L’égalité $f''(a)=0$ seule ne suffit pas : $x^4$ est convexe de part et d’autre de $0$.

Les variations, tangentes et éventuels points d’inflexion s’ajoutent aux limites, asymptotes et symétries lors d’une étude de fonction. Un dessin sert à vérifier la cohérence des résultats ; il ne remplace pas la justification d’un signe ou d’une limite.

Une équation différentielle élémentaire

Pour $\omega>0$, on admet que toutes les solutions réelles de $$y''+\omega^2y=0$$ sont $y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$, où $A,B$ sont des constantes réelles. On vérifie directement l’équation en dérivant deux fois. De plus, $y(0)=A$ et $y'(0)=\omega B$ : deux conditions initiales permettent de déterminer ces constantes.

Par exemple, $y''+4y=0$, $y(0)=1$ et $y'(0)=6$ donnent $y(x)=\cos(2x)+3\sin(2x)$. Si $\omega=0$, l’équation devient $y''=0$ et ses solutions sont les fonctions affines $Ax+B$ ; ce cas se traite séparément.

Approfondissements pour les sciences mathématiques

Monotonie et signe du nombre dérivé : preuve

Supposons $f$ croissante sur un intervalle et dérivable en un point intérieur $a$. Si $h>0$, le numérateur $f(a+h)-f(a)$ est positif ou nul ; si $h<0$, il est négatif ou nul. Dans les deux cas, le quotient par $h$ est positif ou nul. En passant à la limite, $f'(a)\ge0$.

Le même raisonnement donne $f'(a)\le0$ pour une fonction décroissante. Si $f$ est constante, tous les quotients sont nuls, donc $f'=0$. Les implications inverses utilisées dans l’étude des variations sont admises à ce niveau. Ces preuves ne permettent pas de remplacer $\ge0$ par $>0$ pour une fonction strictement croissante.

Reconnaître un nombre dérivé dans une limite

Avant de chercher un calcul long, comparer l’expression avec $\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr)/h$. On peut devoir changer le pas, et son coefficient doit être conservé.

Par exemple, $$\lim_{x\to1}\frac{x^5-1}{x-1}=5, \qquad \lim_{h\to0}\frac{\sin(2h)}h=2\lim_{h\to0}\frac{\sin(2h)-\sin0}{2h}=2.$$ Le premier résultat est la dérivée de $x^5$ en $1$ ; le second celle du sinus en $0$, après correction du pas. L’existence de la dérivée au point doit être connue. Cette méthode ne transforme pas tout quotient indéterminé en un quotient de dérivées.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Une dérivée obtenue par la définition

Pour $f(x)=\sqrt x$, calculer $f'(4)$ par un taux de variation. Donner la tangente en $4$ et une approximation de $\sqrt{4{,}04}$.

Correction. Pour $h\ne0$ assez proche de $0$, multiplier par la quantité conjuguée donne $$\frac{\sqrt{4+h}-2}h=\frac1{\sqrt{4+h}+2}\longrightarrow\frac14.$$ La tangente est $y=2+(x-4)/4=x/4+1$. Avec $h=0{,}04$, l’approximation affine vaut $2+0{,}04/4=2{,}01$. Il s’agit d’une valeur approchée ; son carré $4{,}0401$ confirme qu’elle n’est pas la racine exacte.

Exercice 2 - Produit, quotient et racine

Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée de $u(x)=x^2\sin x$, $v(x)=(2x+1)/(x-1)$ et $w(x)=\sqrt{3x+2}$.

Correction. Sur $\mathbb{R}$, $u'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Pour $x\ne1$, $$v'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}=-\frac3{(x-1)^2}.$$ La fonction $w$ est définie pour $x\ge-2/3$, mais la formule $w'(x)=3/(2\sqrt{3x+2})$ exige $x>-2/3$. À l’extrémité, le taux de variation à droite est $\sqrt{3h}/h=\sqrt3/\sqrt h$, de limite infinie ; il n’y a pas de dérivée finie en $-2/3$.

Exercice 3 - Point anguleux et tangente horizontale

Étudier la dérivabilité en $0$ de $f(x)=|x|$ et de $g(x)=x|x|$. La seconde fonction admet-elle un extremum en $0$ ?

Correction. Pour $f$, le quotient $|h|/h$ tend vers $-1$ à gauche et $1$ à droite : pas de dérivée. Pour $g$, le quotient $h|h|/h=|h|$ tend vers $0$ des deux côtés ; $g'(0)=0$. Mais $g(x)<0$ pour $x<0$ et $g(x)>0$ pour $x>0$. La valeur $g(0)=0$ n’est ni un maximum ni un minimum local. La tangente $y=0$ est horizontale, sans extremum.

Exercice 4 - Variations sur un segment

Déterminer le minimum et le maximum de $f(x)=x^3-3x$ sur $[-2;2]$.

Correction. La dérivée est $3(x-1)(x+1)$ ; les points critiques intérieurs sont $-1$ et $1$. On calcule les valeurs utiles : $$f(-2)=-2,\quad f(-1)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(2)=2.$$ Avec les variations établies par le signe de $f'$, le minimum global sur le segment vaut $-2$, atteint en $-2$ et $1$. Le maximum vaut $2$, atteint en $-1$ et $2$. Il fallait aussi examiner les extrémités, pas seulement résoudre $f'=0$.

Exercice 5 - Optimiser une aire

Un rectangle a un périmètre de $20$ cm. Déterminer ses dimensions pour que son aire soit maximale.

Correction. Si un côté mesure $x$ cm, l’autre mesure $10-x$ cm, avec $0<x<10$. L’aire est $A(x)=x(10-x)$ et $A'(x)=10-2x$. Elle croît jusqu’à $5$, puis décroît. Le maximum est donc $A(5)=25$ cm$^2$, obtenu pour le carré de côté $5$ cm. Les unités de longueur et d’aire doivent être distinguées.

Exercice 6 - Chercher des tangentes parallèles

Trouver les tangentes à la courbe de $f(x)=x^3-3x$ parallèles à la droite $y=9x+2$.

Correction. Elles doivent avoir pour pente $9$, donc $f'(a)=3a^2-3=9$. Cela donne $a=2$ ou $a=-2$. Comme $f(2)=2$ et $f(-2)=-2$, les équations sont respectivement $$y=2+9(x-2)=9x-16,\qquad y=-2+9(x+2)=9x+16.$$ L’ordonnée à l’origine $2$ de la droite donnée n’intervient pas dans la condition de parallélisme.

Exercice 7 - Dérivée seconde et inflexion

Étudier la convexité de $f(x)=x^4-2x^2$ et déterminer ses points d’inflexion.

Correction. On a $f'(x)=4x^3-4x$ puis $f''(x)=12x^2-4$. Cette dernière est positive pour $|x|>1/\sqrt3$ et négative pour $|x|<1/\sqrt3$. La courbe est convexe sur les deux intervalles extérieurs et concave sur l’intervalle central. Le signe change en $a=\pm1/\sqrt3$ ; comme $f(a)=1/9-2/3=-5/9$, les points d’inflexion sont $$\left(-\frac1{\sqrt3};-\frac59\right)\quad\text{et}\quad \left(\frac1{\sqrt3};-\frac59\right).$$ L’existence du changement de signe, et non la seule annulation de $f''$, justifie la conclusion.

Exercice 8 - Déterminer une solution trigonométrique

Résoudre $y''+9y=0$ avec $y(0)=2$ et $y'(0)=-3$.

Correction. Ici $\omega=3$. La solution générale admise est $y=A\cos(3x)+B\sin(3x)$, d’où $y'=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)$. Les conditions donnent $A=2$ et $3B=-3$, donc $$y(x)=2\cos(3x)-\sin(3x).$$ Sa dérivée seconde vaut $-18\cos(3x)+9\sin(3x)=-9y(x)$ ; l’équation et les deux conditions sont donc vérifiées.

Exercice 9 - Limites et nombres dérivés (SM)

Calculer $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1+3h}-1}h$ et $\displaystyle\lim_{x\to\pi/3}\frac{\cos x-1/2}{x-\pi/3}$.

Correction. Pour la première limite, poser $k=3h$. On obtient trois fois le quotient définissant la dérivée de la racine en $1$, donc $3\cdot(1/2)=3/2$. Pour la seconde, $\cos(\pi/3)=1/2$ : c’est la dérivée du cosinus en $\pi/3$, soit $-\sin(\pi/3)=-\sqrt3/2$. Les points considérés appartiennent bien aux domaines de dérivabilité.

Fin du cours et des exercices corrigés