Dérivation et applications | 1re bac lettres, originel et arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Relier le nombre dérivé à la pente d’une tangente, calculer la dérivée d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle et utiliser son signe pour déterminer les variations et les extrema. Résoudre des problèmes simples de maximum et de minimum.

Cadre. On utilise les limites et les règles de calcul algébrique déjà étudiées. Les règles de dérivation et le lien avec les variations sont admis. Le travail porte sur les fonctions algébriques indiquées ici ; les fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles ne sont pas nécessaires à ce chapitre.

Du taux de variation au nombre dérivé

La pente d’une sécante

Pour deux réels distincts $a$ et $b$ du domaine de $f$, le taux de variation est $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Il mesure la variation des images par unité de variation de la variable. Géométriquement, c’est le coefficient directeur de la droite passant par $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$ : cette droite est une sécante à la courbe.

Pour $f(x)=x^2$, entre $a=1$ et $b=3$, ce taux vaut $(9-1)/(3-1)=4$. Ce nombre décrit l’évolution moyenne entre deux points ; il ne donne pas directement la pente au seul point d’abscisse $1$.

La pente en un point

Pour approcher le point $A$, on écrit $b=a+h$, avec $h\ne0$ et $a+h$ dans le domaine. Si le taux $$\frac{f(a+h)-f(a)}h$$ tend vers un nombre réel fini lorsque $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$. Cette limite est le nombre dérivé, noté $f'(a)$.

Exemple - La fonction carré en $2$

Pour $h\ne0$, $$\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h.$$ La limite vaut $4$ lorsque $h\to0$, donc $f'(2)=4$. Le quotient n’est pas défini pour $h=0$ ; c’est sa limite qui fournit le nombre dérivé, sans jamais diviser par zéro.

Le nombre dérivé peut être positif, négatif ou nul. Un taux qui diverge vers un infini ne fournit pas un nombre dérivé réel au sens utilisé dans ce chapitre.

Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe possède en $A(a;f(a))$ une tangente de coefficient directeur $f'(a)$. La droite passe par $A$ ; son équation est donc

Tangente en un point d’abscisse $a$

$$T_a:\quad y=f'(a)(x-a)+f(a).$$ Il faut calculer à la fois $f'(a)$, pour la pente, et $f(a)$, pour situer le point de contact. Si $f'(a)=0$, la tangente est horizontale : $y=f(a)$.

Pour la fonction carré en $a=1$, on a $f(1)=1$ et $f'(1)=2$. La tangente est $y=2(x-1)+1=2x-1$. Pour la tracer, on utilise le point $(1;1)$, puis le déplacement d’une unité à droite et de deux unités vers le haut correspondant à sa pente.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Une tangente n’est pas définie par l’idée de « toucher sans traverser ». Une courbe peut traverser sa tangente. La définition repose sur la pente limite des sécantes.

Fonction dérivée et règles de calcul

Dériver sur un intervalle

Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert si elle est dérivable en chacun de ses points. La fonction qui associe $f'(x)$ à chaque $x$ est sa fonction dérivée. Le nombre $f'(a)$ est une valeur de cette fonction ; il ne faut pas confondre la formule en $x$ et le nombre calculé au point $a$.

Les règles suivantes sont utilisées sur tout intervalle où les fonctions sont dérivables et les expressions définies.

Fonction	Dérivée	Domaine à retenir
$f(x)=k$ constante	$0$	$\mathbb{R}$
$f(x)=ax+b$	$a$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x^n$, $n\ge1$ entier	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$f(x)=1/x$	$-1/x^2$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Pour $n=1$, la formule signifie $(x)'=1$, y compris en $0$ ; on ne crée pas artificiellement une difficulté avec l’écriture d’une puissance nulle.

Opérations sur des fonctions dérivables

Pour une constante $\lambda$ et un entier $n\ge1$, $$\begin{align*} (f+g)'&=f'+g', & (\lambda f)'&=\lambda f',\\ (fg)'&=f'g+fg', & (f^n)'&=n f'f^{n-1},\\ \left(\frac1g\right)'&=-\frac{g'}{g^2}, & \left(\frac fg\right)'&=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g\ne0). \end{align*}$$ La règle de la puissance pour $n=1$ se lit simplement $(f)'=f'$. Les règles du quotient et de l’inverse s’appliquent seulement là où le dénominateur ne s’annule pas.

Un calcul organisé

Pour dériver $P(x)=4x^3-2x^2+5x-7$, on traite chaque terme : $P'(x)=12x^2-4x+5$. La constante disparaît, mais le terme $5x$ devient $5$, pas zéro.

Pour $f(x)=(x+2)/(x-1)$, on pose $u=x+2$ et $v=x-1$. Sur chaque intervalle du domaine $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $$f'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot1}{(x-1)^2} =-\frac3{(x-1)^2}.$$ L’ordre $u'v-uv'$ compte : l’inverser changerait le signe. La dérivée d’un quotient n’est pas le quotient des dérivées.

Pour $g(x)=(x^2+1)^3$, la règle de la puissance d’une fonction donne $$g'(x)=3\cdot2x\cdot(x^2+1)^2=6x(x^2+1)^2.$$ Le facteur $2x$, dérivée de l’expression intérieure, est indispensable. Développer le cube n’est pas nécessaire, même si cela permettrait une autre vérification.

Lire les variations dans le signe de la dérivée

Sur un même intervalle

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. On admet :

• si $f'(x)\ge0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est croissante au sens large sur $I$ ;

• si $f'(x)\le0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est décroissante au sens large sur $I$ ;

• si $f'(x)=0$ partout sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Si $f'>0$ partout, la croissance est stricte ; si $f'<0$ partout, la décroissance est stricte. Ces résultats s’appliquent aussi aux polynômes et fractions rationnelles sur les intervalles fermés de leur domaine, avec les dérivées étudiées à l’intérieur.

Le mot intervalle est essentiel. La fonction $1/x$ a une dérivée négative sur son domaine, mais on doit annoncer sa décroissance séparément sur $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$. Elle n’est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles : $-1<1$ mais $f(-1)=-1<f(1)=1$.

Construire un tableau de variations

On détermine le domaine, on calcule puis factorise si possible $f'$, on étudie son signe et on calcule les images des points où le sens de variation change. Aux bornes infinies ou interdites, on utilise les limites. Le tableau résume une justification ; il ne remplace pas l’étude du signe.

Exemple - Deux changements de sens

Pour $f(x)=x^3-3x+2$, la dérivée est $3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Elle est positive pour $x<-1$ et $x>1$, négative entre $-1$ et $1$, et nulle aux deux points. Les valeurs sont $f(-1)=4$ et $f(1)=0$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

La fonction monte, descend, puis remonte. La dérivée étant strictement positive ou négative à l’intérieur de chaque intervalle indiqué, les variations sont strictes sur chacun de ces intervalles, y compris avec les extrémités finies ajoutées.

Extrema et problèmes d’optimisation

Un extremum local n’est pas forcément global

Un maximum local en $a$ signifie que $f(a)$ est supérieur ou égal aux valeurs prises près de $a$. Un maximum sur un ensemble entier exige la même comparaison avec tous les points de cet ensemble. Le minimum se définit en inversant l’inégalité.

Si la dérivée passe de positive à négative en $a$, la fonction présente un maximum local ; si elle passe de négative à positive, elle présente un minimum local. Dans l’exemple précédent, $4$ est un maximum local et $0$ un minimum local. Ce ne sont pas des extrema sur tout $\mathbb{R}$, car la fonction n’est bornée ni au-dessus ni au-dessous.

Une dérivée nulle est un candidat, pas une conclusion

À l’intérieur d’un intervalle, un extremum d’une fonction dérivable impose $f'(a)=0$. La réciproque est fausse : pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$, mais la fonction continue de croître de part et d’autre de $0$. Elle n’y a ni maximum ni minimum.

Sur un intervalle fermé, un extremum peut aussi se trouver à une extrémité : il faut comparer ces valeurs aux valeurs des points critiques intérieurs.

Passer d’un problème à une fonction

On choisit une variable, on exprime la quantité à optimiser et on précise l’intervalle autorisé. On étudie ensuite les variations et on interprète la réponse avec les unités du problème.

Exemple - Une aire avec un périmètre fixé

Un rectangle a un périmètre de $40$ cm. Si un côté mesure $x$ cm, l’autre mesure $20-x$ cm, avec $0<x<20$. Son aire est $A(x)=x(20-x)$, et $A'(x)=20-2x$.

La dérivée est positive avant $10$, nulle en $10$, puis négative. L’aire maximale est donc $A(10)=100$ cm$^2$, atteinte pour un carré de côté $10$ cm. Ce maximum est global sur le domaine, car la fonction croît jusqu’à $10$ puis décroît sur tout le reste du domaine.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Le dessin illustre les dimensions ; il n’est pas à l’échelle pour chaque valeur de $x$. Le résultat sur le maximum vient du signe de la dérivée.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Revenir à la définition

Pour $f(x)=x^2-x$, calculer le taux $(f(2+h)-f(2))/h$ et en déduire $f'(2)$.

Correction. $f(2)=2$ et $f(2+h)=2+3h+h^2$. Pour $h\ne0$, le taux vaut $3+h$. Sa limite quand $h\to0$ est $3$, donc $f'(2)=3$. On peut contrôler avec la règle usuelle $f'(x)=2x-1$, qui donne également $3$ en $2$.

Exercice 2 - Polynôme et constante

Calculer la dérivée de $P(x)=3x^4-5x^2+7x-8$, puis le nombre $P'(1)$.

Correction. Le polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$. En dérivant terme par terme, $P'(x)=12x^3-10x+7$. Ainsi $P'(1)=12-10+7=9$. La valeur $P(1)=-3$ est différente : elle est une ordonnée, tandis que $P'(1)=9$ est une pente.

Exercice 3 - Un produit

Dériver $f(x)=(2x-1)(x^2+3)$ de deux façons.

Correction. Par la règle du produit, $$f'(x)=2(x^2+3)+(2x-1)2x=6x^2-2x+6.$$ En développant d’abord, $f(x)=2x^3-x^2+6x-3$, dont la dérivée est la même expression. Multiplier seulement les dérivées des facteurs donnerait $4x$, ce qui serait faux.

Exercice 4 - Un quotient et son domaine

Dériver $g(x)=(3x+2)/(x-1)$ et donner son sens de variation sur chaque intervalle du domaine.

Correction. Le domaine exclut $1$. Sur chacun des intervalles $]-\infty;1[$ et $]1;+\infty[$, $$g'(x)=\frac{3(x-1)-(3x+2)}{(x-1)^2}=-\frac5{(x-1)^2}<0.$$ La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles. On ne fusionne pas ces conclusions en une décroissance sur l’ensemble troué.

Exercice 5 - La puissance d’une fonction

Dériver $h(x)=(x^2-2x+3)^4$ et étudier le signe de la dérivée.

Correction. La fonction intérieure a pour dérivée $2x-2$, donc $$h'(x)=4(2x-2)(x^2-2x+3)^3=8(x-1)(x^2-2x+3)^3.$$ Or $x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$. Le signe de $h'$ est donc celui de $x-1$. La fonction décroît jusqu’à $1$, puis croît ; son minimum global vaut $h(1)=2^4=16$.

Exercice 6 - Équation d’une tangente

Déterminer la tangente à $f(x)=x^3-2x$ au point d’abscisse $1$.

Correction. $f(1)=-1$, et $f'(x)=3x^2-2$ donne $f'(1)=1$. La tangente est $y=1(x-1)-1=x-2$. Elle passe bien par $(1;-1)$ et a la pente $1$. Utiliser seulement $f'(1)x=x$ oublierait la position du point de contact.

Exercice 7 - Tangentes horizontales

Trouver les tangentes horizontales de $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$.

Correction. Une tangente est horizontale lorsque $f'(x)=0$. Or $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$ ; les abscisses sont $-1$ et $3$. Les ordonnées sont $f(-1)=7$ et $f(3)=-25$. Les deux tangentes ont donc pour équations $y=7$ et $y=-25$. Les abscisses seules ne sont pas les équations de ces droites.

Exercice 8 - Variations d’un polynôme cubique

Étudier les variations et les extrema locaux de $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.

Correction. $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Son signe est positif avant $1$, négatif entre $1$ et $3$, positif après $3$. On calcule $f(1)=5$ et $f(3)=1$. La fonction croît sur $]-\infty;1]$, décroît sur $[1;3]$, puis croît sur $[3;+\infty[$. Elle possède un maximum local égal à $5$ en $1$ et un minimum local égal à $1$ en $3$. Son terme dominant $x^3$ impose des limites $-\infty$ et $+\infty$ : il n’y a ni maximum ni minimum sur tout $\mathbb{R}$.

Exercice 9 - Ne pas oublier les extrémités

Déterminer le minimum et le maximum de $f(x)=x^2-4x+1$ sur $[0;5]$.

Correction. $f'(x)=2x-4$ s’annule en $2$, à l’intérieur de l’intervalle. La fonction décroît sur $[0;2]$, puis croît sur $[2;5]$. Les valeurs à comparer sont $f(0)=1$, $f(2)=-3$ et $f(5)=6$. Le minimum vaut $-3$, atteint en $2$ ; le maximum vaut $6$, atteint à l’extrémité $5$. Chercher seulement les zéros de la dérivée aurait fait manquer le maximum.

Exercice 10 - Maximiser un bénéfice fictif

Un modèle de bénéfice donne $B(x)=-2x^2+24x-40$ DH pour $x\in[0;12]$. Déterminer la valeur maximale et la quantité correspondante. Que change une contrainte $x\in\mathbb{N}$ ?

Correction. $B'(x)=24-4x$ est positive avant $6$, nulle en $6$, négative après $6$. Le bénéfice est donc maximal en $x=6$, et $B(6)=-72+144-40=32$ DH. Les deux valeurs aux extrémités valent $-40$ DH. La quantité optimale $6$ est entière : la même solution reste autorisée lorsque $x$ doit être naturel. On ne peut pas toujours arrondir un optimum réel sans contrôle, mais aucun arrondi n’est nécessaire ici.

Exercice 11 - Une dérivée nulle sans extremum

Pour $f(x)=x^3$, montrer que la tangente en $0$ est horizontale et que $0$ n’est pas un extremum local.

Correction. $f'(x)=3x^2$, donc $f'(0)=0$ et $f(0)=0$ ; la tangente est $y=0$. Pourtant, pour tout $h>0$, $f(-h)=-h^3<0=f(0)<h^3=f(h)$. Dans tout voisinage de $0$, on trouve ainsi des valeurs plus petites et plus grandes que $f(0)$. Il n’y a ni maximum ni minimum local. La dérivée ne change pas de signe en $0$.

Exercice 12 - Direction d’un raccord dessiné

Dans un dessin à coordonnées exprimées en centimètres, un profil courbe suit $f(x)=3-x^2/4$ pour $-2\le x\le2$. On veut le prolonger à partir de $x=2$ par une droite ayant la même direction au raccord. Déterminer cette droite.

Correction. Le point de raccord est $A(2;f(2))=(2;2)$. Le polynôme qui décrit le profil a pour dérivée $f'(x)=-x/2$, d’où une pente $-1$ en $2$. La droite de même direction est la tangente : $$y=-1(x-2)+2=-x+4.$$ Elle passe par le point de raccord et par $(3;1)$. Une droite simplement parallèle mais ne passant pas par $A$ laisserait un décalage ; passer par $A$ avec une autre pente créerait un angle. Le calcul contrôle donc à la fois la position et la direction de ce raccord graphique.

Méthode à conserver

Définir le domaine ; calculer et simplifier la dérivée ; étudier son signe sur chaque intervalle ; calculer les valeurs utiles et les limites ; distinguer extrema locaux et extrema sur le domaine demandé. Pour une tangente, conserver la pente et le point ; pour un problème, conserver les unités et les contraintes.

Fin du cours et des exercices corrigés