Dérivation et accroissements finis - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences mathématiques

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Maîtriser la dérivation composée et inverse, les racines et l’arctangente, puis utiliser Rolle et les accroissements finis pour prouver des inégalités, encadrer des nombres et contrôler une suite récurrente. Chaque théorème s’emploie après vérification de ses hypothèses.

Dérivée, continuité et approximation locale

Un nombre dérivé est une limite finie

Une fonction $f$, définie au voisinage de $a$, est dérivable en $a$ si $$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=f'(a)\in\mathbb{R}.$$ Cette limite est le coefficient directeur de la tangente : $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Les dérivées à gauche et à droite se calculent en imposant $h<0$ ou $h>0$. À un point intérieur, la dérivabilité exige qu’elles existent, soient finies et égales.

La dérivabilité implique la continuité

Si le quotient précédent tend vers un réel, alors $$f(a+h)-f(a)=h\frac{f(a+h)-f(a)}h\longrightarrow0.$$ Ainsi $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse : $|x|$ est continue en $0$, mais ses pentes latérales sont $-1$ et $1$. Une limite infinie du taux d’accroissement peut indiquer une tangente verticale, mais ne définit pas une dérivée réelle finie.

Exemple - Continuité avant les deux pentes

Pour $f(x)=x^2$ si $x\ge0$ et $f(x)=-x$ si $x<0$, les limites et la valeur en $0$ valent $0$. Le taux vaut $h$ à droite et $-1$ à gauche. La fonction est continue, mais non dérivable en $0$ ; sa courbe possède deux demi-tangentes différentes.

Une approximation affine et son reste

La définition est équivalente à l’écriture $$\boxed{f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varepsilon(h)},\qquad \varepsilon(h)\longrightarrow0.$$ La différence entre $f(a+h)$ et l’approximation affine devient négligeable devant $|h|$. En notation différentielle, $dy=f'(a)\,dx$ décrit la variation linéaire associée à une petite variation $dx$ ; ce n’est pas en général l’accroissement exact.

Exemple - Approcher une racine

Pour $f(x)=\sqrt x$ en $a=9$, $f(9)=3$ et $f'(9)=1/6$. Donc $\sqrt{9+h}=3+h/6+h\varepsilon(h)$. Pour $h=0{,}06$, cela suggère $3{,}01$. Une garantie numérique sur l’erreur demandera une majoration, pas seulement le symbole d’approximation.

Dériver une composition

Règles et domaines

Si $u,v$ sont dérivables, les règles usuelles donnent $$(u+v)'=u'+v',\quad(uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).$$

La règle de la chaîne

Si $u$ est dérivable en $a$ et $g$ dérivable en $u(a)$, alors $g\circ u$ est dérivable en $a$ et $$\boxed{(g\circ u)'(a)=g'(u(a))u'(a)}.$$ Le domaine de $g\circ u$ exige $u(x)\in D_g$ avant tout calcul.

Expression	Dérivée	Condition locale
$u^n$, $n\in\mathbb{Z}$	$nu'u^{n-1}$	$u\ne0$ si $n<0$
$\sqrt u$	$u'/(2\sqrt u)$	$u>0$
$\sin u$	$u'\cos u$	$u$ dérivable
$\cos u$	$-u'\sin u$	$u$ dérivable
$\tan u$	$u'/\cos^2u$	$\cos u\ne0$
$\ln u$	$u'/u$	$u>0$
$e^u$	$u'e^u$	$u$ dérivable

Pour $n=0$, la fonction constante $1$ a pour dérivée $0$ ; on l’utilise directement sans écrire un produit comportant une puissance négative de zéro. Les fonctions logarithme et exponentielle sont développées dans leurs cours propres.

Exemple - Une dérivée seconde avec simplification

Pour $f(x)=\sqrt{1+x^2}$, le radicand est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Ainsi $$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\qquad f''(x)=\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{3/2}} =\frac1{(1+x^2)^{3/2}}>0.$$ Le facteur $2x$ de la dérivée intérieure a été utilisé dans les deux calculs.

Une expression définie n’est pas forcément dérivable

Pour $\sqrt u$, la formule exige $u>0$. Si $u(a)=0$, il faut revenir au taux d’accroissement : $\sqrt{x^2}=|x|$ n’est pas dérivable en $0$, tandis que $\sqrt{x^4}=x^2$ l’est. Une même valeur du radicand ne donne pas une conclusion automatique.

Le calcul se termine par un domaine

Indiquer où la dérivée est valable. Une simplification algébrique de $f'$ ne prouve pas la dérivabilité aux points où une étape du calcul n’était pas autorisée.

Fonctions réciproques, racines et arctangente

Dériver une réciproque

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Elle est bijective de $I$ vers $J=f(I)$ et sa réciproque $g$ est continue. Si $a$ est intérieur à $I$, si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)\ne0$, alors $g$ est dérivable en $b=f(a)$ et $$\boxed{g'(b)=\frac1{f'(a)}},\qquad \boxed{g'(y)=\frac1{f'(g(y))}}.$$ Justification. Pour $y=f(x)\ne b$, le taux de $g$ s’écrit $$\frac{g(y)-g(b)}{y-b}=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}.$$ Quand $y\to b$, la continuité de $g$ donne $x\to a$. Le dénominateur du quotient inverse tend vers le réel non nul $f'(a)$.

Exemple - Une valeur de la réciproque suffit

$f(x)=x^3+x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, car $f'(x)=3x^2+1>0$, et ses limites sont les deux infinis. Sa réciproque $g$ existe sur $\mathbb{R}$. Comme $f(1)=2$, $g(2)=1$ et $g'(2)=1/4$ ; aucune formule explicite de $g$ n’est nécessaire.

La racine $n$-ième

Pour $n\ge2$, la fonction $x\mapsto\sqrt[n]x$ est définie sur $[0;+\infty[$ si $n$ est pair, sur $\mathbb{R}$ si $n$ est impair. Sur $]0;+\infty[$, $$\left(\sqrt[n]x\right)'=\frac1{n(\sqrt[n]x)^{n-1}}.$$ Pour $n$ impair, cette formule vaut aussi pour $x<0$. En $0$, le taux vaut $x^{1/n}/x$ pour $x>0$ et tend vers $+\infty$ : il n’y a pas de dérivée finie. Pour une composition à radicand strictement positif, $$\left(\sqrt[n]{u(x)}\right)'= \frac{u'(x)}{n(\sqrt[n]{u(x)})^{n-1}}.$$ Pour $n\ge3$, cette formule de composition est un outil de calcul ; elle n’impose pas l’étude générale de toutes ces fonctions composées.

La fonction arctangente

La tangente est continue, strictement croissante et bijective de $]-\pi/2;\pi/2[$ sur $\mathbb{R}$. Sa réciproque $\arctan$ prend ses valeurs dans cet intervalle. En utilisant $\tan'=1+\tan^2$, on obtient $$\boxed{(\arctan x)'=\frac1{1+x^2}},\qquad (\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}.$$ Ainsi $\arctan$ est impaire, strictement croissante, et ses limites aux deux infinis valent $-\pi/2$ et $\pi/2$. On a $\tan(\arctan x)=x$ pour tout réel $x$, mais $\arctan(\tan x)=x$ seulement si $x\in]-\pi/2;\pi/2[$.

Variations, extrema et courbe

Le rôle du signe de la dérivée

Sur un intervalle, si $f'\ge0$, la fonction est croissante ; si $f'\le0$, elle est décroissante ; si $f'=0$ partout, elle est constante. Si $f'>0$ partout, elle est strictement croissante. La stricte croissance peut aussi exister lorsque $f'$ s’annule en certains points : $x^3$ est strictement croissante et sa dérivée est nulle en $0$. Un extremum local intérieur d’une fonction dérivable impose $f'(a)=0$, mais la réciproque est fausse. Pour conclure, on étudie le changement de signe : de $+$ vers $-$ pour un maximum, de $-$ vers $+$ pour un minimum.

Courbure et dérivée seconde

Si $f''\ge0$ sur un intervalle, $f$ est convexe ; si $f''\le0$, elle est concave. Un point d’inflexion correspond à un changement de convexité. L’égalité $f''(a)=0$ seule ne suffit pas : $x^4$ reste convexe des deux côtés de $0$.

Exemple - Étude de $f(x)=x+1/x$

Le domaine est $\mathbb{R}^*$ et la fonction est impaire. On a $$f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2},\qquad f''(x)=\frac2{x^3}.$$ Elle croît sur $]-\infty;-1]$, décroît sur $[-1;0[$ et sur $]0;1]$, puis croît sur $[1;+\infty[$. Elle possède un maximum local $f(-1)=-2$ et un minimum local $f(1)=2$. Il ne s’agit pas d’extrema globaux sur tout le domaine.

Les limites en $0^-$ et $0^+$ valent $-\infty$ et $+\infty$ : $x=0$ est asymptote verticale. À chaque infini, $f(x)-x=1/x\to0$, donc $y=x$ est asymptote oblique. La courbe est concave à gauche de $0$ et convexe à droite ; $0$ n’est pas un point d’inflexion, car il n’appartient pas au domaine.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’équation $f(x)=k$ peut être lue sur ce graphe puis justifiée par $x^2-kx+1=0$, avec $x\ne0$. Elle possède deux solutions distinctes si $|k|>2$, une si $|k|=2$, aucune si $|k|<2$.

Rolle et le théorème des accroissements finis

Rolle : deux valeurs égales imposent une pente nulle

Théorème de Rolle

Si $a<b$, si $f$ est continue sur $[a;b]$, dérivable sur $]a;b[$ et si $f(a)=f(b)$, alors il existe $c\in]a;b[$ tel que $f'(c)=0$.

Idée de preuve. La fonction continue atteint son minimum et son maximum sur le segment. Si elle est constante, tout point intérieur convient. Sinon, puisque les deux extrémités ont la même valeur, au moins un extremum est atteint à l’intérieur ; la dérivée y est nulle.

Les hypothèses sont nécessaires. Sur $[-1;1]$, $|x|$ a des valeurs égales aux extrémités mais n’est pas dérivable en $0$ ; ses dérivées aux autres points valent $-1$ ou $1$, jamais $0$.

Une tangente parallèle à la sécante

Théorème des accroissements finis

Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$, il existe $c\in]a;b[$ tel que $$\boxed{f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}.$$

Pour le démontrer, on applique Rolle à $F(x)=f(x)-s(x-a)$, où $s=(f(b)-f(a))/(b-a)$. Alors $F(a)=F(b)$ et $F'(c)=f'(c)-s=0$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Pour $f(x)=x^2$ sur $[1;3]$, la pente de la sécante est $(9-1)/(3-1)=4$. On cherche $2c=4$, donc $c=2$. La tangente en $2$ est parallèle à la sécante, mais n’est pas la même droite.

Retrouver les critères de variation

Pour $a<b$ dans l’intervalle, $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$. Si $f'\ge0$, cette différence est positive ou nulle. Si $f'=0$ partout, toutes les valeurs sont égales. Le théorème explique ainsi les critères utilisés pour étudier les variations.

Inégalités et contrôle des erreurs

Encadrer la dérivée encadre les accroissements

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, dérivable à l’intérieur et si $m\le f'(x)\le M$, alors $$\boxed{m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)}.$$ Si seulement $|f'(x)|\le K$, le théorème donne $$\boxed{|f(b)-f(a)|\le K|b-a|}.$$ Le segment entre $a$ et $b$ doit rester dans un intervalle où les hypothèses sont valables. Une borne sur deux morceaux séparés par un point interdit ne permet pas de traverser ce point.

Exemple - Une inégalité pour tous réels

La dérivée du sinus est le cosinus, de valeur absolue au plus $1$. Pour tous réels $a,b$, $$|\sin b-\sin a|\le|b-a|.$$ Prendre $a=0$ donne $|\sin b|\le|b|$. L’inégalité résulte d’un théorème sur tout le segment, pas d’une approximation près de $0$.

Un encadrement logarithmique

Pour $t>0$, la fonction $\ln$ est continue sur $[1;1+t]$ et dérivable à l’intérieur. Sa dérivée $1/x$ satisfait $$\frac1{1+t}\le\frac1x\le1.$$ Ainsi $$\boxed{\frac{t}{1+t}\le\ln(1+t)\le t}\quad(t\ge0),$$ le cas $t=0$ étant immédiat. Pour $t>0$, les deux inégalités sont même strictes puisque la dérivée est strictement décroissante.

Passer d’un résidu à une distance

Supposons $f(\alpha)=0$ et $f'(x)\ge m>0$ sur le segment entre $x$ et $\alpha$. Les accroissements finis donnent $$|f(x)|=|f(x)-f(\alpha)|\ge m|x-\alpha|, \quad\text{donc}\quad |x-\alpha|\le\frac{|f(x)|}{m}.$$ Un petit résidu $|f(x)|$ donne ici une erreur sur la racine parce que la dérivée reste éloignée de zéro. Sans cette condition, la conclusion ne serait pas automatique.

Exemple - Une garantie sur une racine carrée

Sur $[9;9{,}06]$, $f'(x)=1/(2\sqrt x)\le1/6$. On obtient $0\le\sqrt{9{,}06}-3\le0{,}01$. Pour contrôler l’erreur de l’approximation affine, on peut en plus utiliser la borne inférieure $1/(2\sqrt{9{,}06})$ sur le même segment. L’encadrement de l’accroissement est alors justifié des deux côtés.

Application à une suite récurrente

Un intervalle stable et une contraction

Soit $f$ continue sur $I=[a;b]$, dérivable à l’intérieur, avec $f(I)\subset I$ et $|f'|\le k<1$. La fonction $g(x)=f(x)-x$ vérifie $g(a)\ge0$ et $g(b)\le0$. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit un point fixe $\alpha\in I$ : $f(\alpha)=\alpha$.

Il est unique : si $\alpha$ et $\beta$ sont deux points fixes, les accroissements finis donnent $|\alpha-\beta|\le k|\alpha-\beta|$, donc $(1-k)|\alpha-\beta|\le0$ et $\alpha=\beta$.

Une borne d’erreur démontrée par récurrence

Pour $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, la stabilité assure $u_n\in I$. Puis $$|u_{n+1}-\alpha|\le k|u_n-\alpha|, \qquad\boxed{|u_n-\alpha|\le k^n|u_0-\alpha|}.$$ Comme $0\le k<1$, la suite converge vers $\alpha$.

Un exemple de bout en bout

Prenons $f(x)=\sqrt{2+x}$ sur $I=[1;2]$. Son image est $[\sqrt3;2]\subset[1;2]$, et $$0<f'(x)=\frac1{2\sqrt{2+x}}\le\frac1{2\sqrt3}<\frac13.$$ Le nombre $2$ est un point fixe. Pour $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$, on obtient donc $$|u_n-2|\le\left(\frac13\right)^n.$$ Au rang $5$, l’erreur est au plus $1/243<0{,}01$. Il s’agit d’une garantie suffisante ; elle ne prétend pas donner le premier rang réellement nécessaire.

Ne pas appliquer la méthode sans ses conditions

La continuité et la stabilité donnent l’existence d’un point fixe sur le segment. La borne stricte $k<1$ donne l’unicité et la diminution géométrique des erreurs. Une suite définie par une fonction dont la dérivée vaut $1$ peut se comporter autrement : pour $f(x)=x$, chaque point est fixe et la limite dépend de $u_0$.

Trois questions pour une récurrence

Les termes restent-ils dans l’intervalle étudié ? Quel point fixe est compatible avec cet intervalle ? Quelle borne uniforme sur la dérivée permet de comparer les erreurs ? Répondre dans cet ordre évite d’utiliser une estimation là où elle n’est pas valable.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Raccorder deux expressions

On définit $f(x)=x^2$ pour $x\le1$ et $f(x)=ax+b$ pour $x>1$. Déterminer $a,b$ pour que $f$ soit dérivable en $1$. Solution. La continuité impose $a+b=1$. Sous cette condition, la pente à gauche vaut $2$ et celle à droite $a$. L’égalité exige $a=2$, puis $b=-1$. Réciproquement, ces valeurs donnent la continuité et deux taux latéraux tendant vers $2$, donc la dérivabilité est établie.

Exercice 2 - Deux dérivées composées et leurs domaines

Dériver $f(x)=\arctan(x^2)$ et $h(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$. Solution. Les deux fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$. L’arctangente est dérivable partout et $1+x^2>0$, donc les règles composées donnent $$f'(x)=\frac{2x}{1+x^4},\qquad h'(x)=\frac{2x}{3(\sqrt[3]{1+x^2})^2}.$$ Ces dérivées sont valables sur tout $\mathbb{R}$. Pour $f$, le signe est celui de $x$ : elle décroît jusqu’à $0$ puis croît, avec minimum $f(0)=0$.

Exercice 3 - Tangente d’une réciproque

Soit $g$ la réciproque de $f(x)=x^3+x$ sur $\mathbb{R}$. Donner la tangente à sa courbe au point d’abscisse $2$. Solution. La fonction $f$ est continue, strictement croissante et prend toutes les valeurs réelles. Comme $f(1)=2$, on a $g(2)=1$. De plus $f'(1)=4\ne0$, donc $g'(2)=1/4$. La tangente est $$y=1+\frac14(x-2).$$ Le point $(2,1)$ et la pente réciproque sont obtenus sans résoudre une équation cubique générale.

Exercice 4 - Localiser le point de Rolle

Appliquer Rolle à $p(x)=x^3-3x$ sur $[0;\sqrt3]$ et déterminer tous les points garantis par le théorème. Solution. Le polynôme est continu sur le segment et dérivable à l’intérieur ; $p(0)=p(\sqrt3)=0$. Il existe donc $c\in]0;\sqrt3[$ avec $p'(c)=0$. Or $p'(x)=3x^2-3$ s’annule en $-1$ et $1$. Seul $c=1$ appartient à l’intervalle. Le théorème garantit une existence, et le calcul donne ici l’unique point admissible.

Exercice 5 - Encadrer une différence de racines

Montrer $\displaystyle\frac1{2\sqrt{10}}<\sqrt{10}-3<\frac16$. Solution. La fonction racine est continue sur $[9;10]$ et dérivable à l’intérieur. Pour un certain $c\in]9;10[$, $$\sqrt{10}-\sqrt9=\frac{10-9}{2\sqrt c}=\frac1{2\sqrt c}.$$ Comme $3<\sqrt c<\sqrt{10}$, inverser les quantités positives renverse les inégalités et donne exactement l’encadrement demandé. Les bornes sont strictes parce que $c$ est intérieur.

Exercice 6 - Comparer deux arctangentes

Prouver $|\arctan x-\arctan y|\le|x-y|$ pour tous réels $x,y$, puis améliorer le coefficient à $1/2$ si $x,y\ge1$. Solution. Sur $\mathbb{R}$, $0<(\arctan t)'=1/(1+t^2)\le1$. L’inégalité des accroissements finis s’applique au segment joignant $x$ et $y$, d’où la première conclusion. Si $x,y\ge1$, tout ce segment est dans $[1;+\infty[$ et la dérivée y est au plus $1/2$. On obtient alors $$|\arctan x-\arctan y|\le\tfrac12|x-y|.$$ Si $x=y$, les deux inégalités sont immédiates.

Exercice 7 - Des zéros de la dérivée seconde

Étudier la convexité de $f(x)=x^4-2x^2$ et déterminer ses points d’inflexion. Solution. $f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1)$. Son signe est positif pour $|x|>1/\sqrt3$, négatif pour $|x|<1/\sqrt3$. La fonction est donc convexe sur les deux intervalles extérieurs et concave sur l’intervalle central. Le signe change aux deux racines : les points d’inflexion sont $$\left(-\frac1{\sqrt3},-\frac59\right), \qquad\left(\frac1{\sqrt3},-\frac59\right),$$ car $1/9-2/3=-5/9$. On a vérifié le changement de convexité, pas seulement l’annulation de $f''$.

Exercice 8 - Une racine et une erreur contrôlée

Montrer que $F(x)=x^3+x-1$ possède une unique racine $\alpha\in]0;1[$, puis justifier $0{,}68<\alpha<0{,}69$ et $|\alpha-0{,}68|\le0{,}005568$. Solution. $F$ est continue, $F(0)=-1$ et $F(1)=1$ : une racine existe. Sa dérivée $3x^2+1$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc la racine est unique. Les calculs exacts en écriture décimale donnent $$F(0{,}68)=-0{,}005568<0, \qquad F(0{,}69)=0{,}018509>0.$$ La croissance place $\alpha$ entre ces deux nombres. Sur le segment entre $0{,}68$ et $\alpha$, $F'\ge1$. Les accroissements finis donnent $$|\alpha-0{,}68|\le|F(\alpha)-F(0{,}68)|=0{,}005568.$$ On dispose ainsi d’une borne prouvée, plus précise que la largeur initiale $0{,}01$.

Exercice 9 - Une récurrence rationnelle contractante

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=(u_n+2)/(u_n+3)$. Montrer que les termes restent dans $[0;1]$, déterminer la limite et fournir un rang garantissant une erreur inférieure à $0{,}002$. Solution. Posons $f(x)=(x+2)/(x+3)$. Sur $[0;1]$, le dénominateur est positif, $f'(x)=1/(x+3)^2>0$, et $$f([0;1])=[2/3;3/4]\subset[0;1].$$ Par récurrence, tous les termes restent dans l’intervalle. Les points fixes vérifient $x^2+2x-2=0$, donc $x=-1\pm\sqrt3$. Seul $\alpha=\sqrt3-1$ appartient à $[0;1]$.

La dérivée satisfait $|f'|\le1/9$ sur cet intervalle. Ainsi $$|u_n-\alpha|\le9^{-n}|u_0-\alpha|\le9^{-n}.$$ Cette borne tend vers $0$, donc $u_n\to\sqrt3-1$. Au rang $3$, $9^{-3}=1/729<0{,}002$ : $n=3$ est un rang suffisant. On ne conclut pas qu’il est minimal sans étudier les erreurs réelles aux rangs précédents.

Les hypothèses font partie de la solution

Un intervalle fermé pour la continuité, son intérieur pour la dérivabilité, une dérivée non nulle pour la réciproque, et une borne uniforme pour les erreurs : chaque condition a un rôle précis dans la conclusion obtenue.