Dénombrement et probabilités - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Choisir un modèle de dénombrement, calculer des probabilités, utiliser conditionnement et indépendance, établir une loi de probabilité et ses indicateurs. Reconnaître une loi binomiale et interpréter une simulation dans des situations commerciales ou économiques.

Compter les issues sans les confondre

Addition ou multiplication

Pour des possibilités réparties en cas disjoints, on additionne les effectifs. Pour des choix successifs, on multiplie le nombre de possibilités à chaque étape. Un arbre de choix aide à distinguer les étapes et les cas.

Exemple - Construire une offre

Une offre comporte un produit parmi $3$, une durée parmi $4$ et un mode de livraison parmi $2$. Si chaque combinaison est autorisée, il existe $3\times4\times2=24$ offres. Si certaines combinaisons sont interdites, le produit brut doit être corrigé en comptant les cas réellement possibles.

Ordre et répétition

Pour $n\ge1$ objets distincts, une liste ordonnée de $k$ choix avec répétition possède $n^k$ possibilités. Sans répétition, pour $0\le k\le n$, le nombre d’arrangements est $$\boxed{A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}}.$$ On pose $0!=1$. Ordonner les $n$ objets donne $n!$ permutations. Une liste vide possède une possibilité, donc $A_n^0=1$.

Choisir un groupe sans ordre

Un groupe de $k$ objets parmi $n$ ne change pas quand on permute ses éléments. Chaque groupe correspond à $k!$ listes ordonnées. Ainsi $$\boxed{\binom nk=C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\qquad(0\le k\le n).$$ On a $\binom n0=\binom nn=1$ et $\binom nk=\binom n{n-k}$. Choisir les objets retenus revient à choisir ceux que l’on exclut.

Exemple - Trois commandes parmi huit

Choisir un lot de $3$ commandes parmi $8$ donne $\binom83=56$ lots. Classer trois commandes comme première, deuxième et troisième donne $A_8^3=8\times7\times6=336$ listes. La différence est le rôle de l’ordre.

Les questions à poser avant une formule

L’ordre compte-t-il ? Un même objet peut-il être choisi plusieurs fois ? Les objets sont-ils distincts ? Une sélection simultanée sans ordre et une succession avec remise ne décrivent pas les mêmes issues.

Expérience aléatoire et probabilité

Une expérience aléatoire a des issues possibles dont on ne connaît pas à l’avance celle qui se réalisera. L’ensemble des issues est l’univers $\Omega$. Dans ce chapitre, les univers considérés sont finis. Un événement $A$ est un ensemble d’issues. L’événement contraire $\overline A$ signifie que $A$ ne se réalise pas. L’intersection $A\cap B$ signifie que les deux événements se réalisent ; l’union $A\cup B$ signifie qu’au moins l’un des deux se réalise. Des événements sont incompatibles lorsque $A\cap B=\varnothing$.

Le modèle équiprobable

Une probabilité attribue à chaque issue une valeur positive ou nulle, dont la somme vaut $1$. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues. Si les issues sont équiprobables, chacune possède la même probabilité et $$\boxed{P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}}.$$ Le rapport d’effectifs ne s’applique pas sans cette hypothèse. Par exemple, une sélection uniforme de clients donne des clients équiprobables, mais leurs catégories ne sont pas équiprobables si elles ont des effectifs différents.

Les règles de calcul

$$P(\Omega)=1,\quad P(\varnothing)=0,\quad0\le P(A)\le1, \qquad\boxed{P(\overline A)=1-P(A)}.$$ Pour tous événements $A,B$, $$\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}.$$ On soustrait l’intersection pour ne pas la compter deux fois. Si les événements sont incompatibles, son terme est nul. Si $A\subset B$, alors $P(A)\le P(B)$.

Exemple - Deux services utilisés

Si $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}1$, alors $P(A\cup B)=0{,}6$. La probabilité de n’utiliser aucun des deux services est $1-0{,}6=0{,}4$.

Fréquence observée et probabilité du modèle

Après $N$ répétitions, la fréquence observée d’un événement est son nombre de réalisations divisé par $N$. Sur de nombreuses répétitions dans les mêmes conditions, on observe une stabilisation approximative autour de la probabilité. Une fréquence finie n’est pas nécessairement égale à la probabilité, et ses écarts ne diminuent pas à chaque nouvel essai. Une simulation sert à explorer ce phénomène. Elle ne transforme pas une estimation expérimentale en égalité exacte et ne remplace pas les hypothèses du modèle.

Probabilité conditionnelle et arbre pondéré

Si $P(A)>0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est $$\boxed{P_A(B)=P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}.$$ Le conditionnement restreint les issues à celles où $A$ est réalisé. La formule donne aussi $$\boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)}.$$ La probabilité $P(B\mid A)$ n’est pas en général égale à $P(A\mid B)$ : le groupe de référence change.

Lire un arbre

Les branches issues d’un même nœud ont des probabilités dont la somme vaut $1$. Le produit des probabilités le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection correspondante. On additionne ensuite les chemins disjoints qui constituent l’événement demandé.

Exemple - Deux fournisseurs et un contrôle

Une entreprise achète $60\,\%$ de ses articles à $A$, $40\,\%$ à $B$. Les proportions d’articles défectueux sont respectivement $2\,\%$ et $5\,\%$. On choisit un article au hasard dans ce modèle ; $D$ désigne le défaut.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Les quatre probabilités finales totalisent $1$. Les deux chemins menant à un défaut sont disjoints, donc $$\boxed{P(D)=0{,}012+0{,}020=0{,}032}.$$ Un taux de défaut de fournisseur est une probabilité conditionnelle. Il ne faut pas additionner directement $0{,}02$ et $0{,}05$ sans tenir compte des parts d’approvisionnement.

Probabilités totales et indépendance

Retrouver une origine à partir d’une observation

Si $A$ et $\overline A$ forment les deux branches initiales, avec des probabilités non nulles, alors $$\boxed{P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline A)P(B\mid\overline A)}.$$ Plus généralement, on additionne les intersections obtenues avec les événements d’une partition. Dans l’exemple des fournisseurs, sachant qu’un article est défectueux, la probabilité qu’il provienne de $A$ vaut $$P(A\mid D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)} =\frac{0{,}012}{0{,}032}=\boxed{\frac38}.$$ Cette probabilité n’est ni la part initiale $0{,}6$, ni le taux de défaut $0{,}02$ : on a changé l’information disponible.

Deux événements indépendants

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $$\boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)}.$$ Si $P(A)>0$, cela équivaut à $P(B\mid A)=P(B)$. Connaître la réalisation de $A$ ne modifie alors pas la probabilité de $B$ dans le modèle. Les événements contraires restent indépendants : par exemple $P(\overline A\cap\overline B)=(1-P(A))(1-P(B))$.

Incompatibles et indépendants ne sont pas synonymes

Si deux événements incompatibles ont des probabilités strictement positives, leur intersection a une probabilité nulle, différente du produit positif : ils ne sont pas indépendants. L’indépendance est une propriété probabiliste à vérifier ou une hypothèse explicite.

Répéter une expérience

Des répétitions indépendantes permettent de multiplier les probabilités des résultats successifs. Une remise et un mélange peuvent justifier un modèle identique à chaque tirage. Sans remise, les proportions changent en général : on recalcule les probabilités conditionnelles.

Exemple - Tirage sans remise

Un lot comporte $4$ articles rouges et $6$ bleus. Après avoir tiré un rouge sans remise, il reste $3$ rouges sur $9$ articles : la probabilité d’un rouge au deuxième tirage devient $3/9$, différente de la probabilité initiale $4/10$. L’absence de remise ne rend pas toute question impossible ; elle exige simplement de décrire correctement l’univers ou les branches successives.

Variable aléatoire, espérance et dispersion

Une variable aléatoire réelle $X$ associe un nombre à chaque issue. Sa loi indique ses valeurs distinctes $x_i$ et leurs probabilités $p_i=P(X=x_i)$, avec $p_i\ge0$ et $\sum_i p_i=1$.

Exemple - Un résultat net de campagne

Dans un modèle, le résultat net $X$ d’une campagne, en unités monétaires, prend les valeurs suivantes :

$x_i$	$-100$	$200$	$600$
$P(X=x_i)$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}3$

Les probabilités sont positives et totalisent $1$. La valeur négative représente une perte ; les coûts ont déjà été inclus dans le résultat net.

Espérance

L’espérance est la moyenne pondérée $$\boxed{E(X)=\sum_i x_ip_i}.$$ Ici, $E(X)=-100(0{,}2)+200(0{,}5)+600(0{,}3)=260$. Ce nombre n’est pas un résultat observé dans la liste : il décrit une moyenne théorique sur des répétitions du modèle, pas un gain garanti pour une campagne.

Variance et écart type

La variance et l’écart type sont $$\boxed{V(X)=\sum_i p_i(x_i-E(X))^2=E(X^2)-E(X)^2}, \qquad\boxed{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}.$$ Dans l’exemple, $E(X^2)=10\,000(0{,}2)+40\,000(0{,}5)+360\,000(0{,}3)=130\,000$. Donc $$V(X)=130\,000-260^2=62\,400,\qquad\sigma(X)=40\sqrt{39}.$$ La variance possède l’unité monétaire au carré, tandis que l’écart type a l’unité monétaire. Une dispersion élevée signifie que les valeurs peuvent être éloignées de l’espérance.

Transformer une variable

Pour des réels $a,b$, $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$. Un coût fixe supplémentaire $b$ soustrait à tous les résultats diminue l’espérance de $b$, sans modifier la variance. Multiplier les montants par $a$ multiplie l’écart type par $|a|$.

Établir la loi avant de calculer

Lister les valeurs possibles, regrouper les issues qui donnent la même valeur, calculer les probabilités et vérifier leur somme. Une espérance calculée avec des probabilités incomplètes ou des gains bruts au lieu de gains nets répond à une autre question.

Loi binomiale et simulation

Reconnaître les trois hypothèses

On répète $n\ge1$ fois une épreuve à deux résultats, succès ou échec. Les épreuves sont indépendantes et la probabilité de succès est la même $p$ à chaque essai. La variable $X$ qui compte les succès suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$. Pour $0<p<1$ et $k\in\{0,\ldots,n\}$, $$\boxed{P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}},\qquad \boxed{E(X)=np},\qquad\boxed{V(X)=np(1-p)}.$$ Le coefficient compte les positions des $k$ succès. Chaque liste de résultats ayant ces positions possède la probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$. Pour $p=0$, $X=0$ avec certitude ; pour $p=1$, $X=n$ avec certitude. Ces cas se traitent directement.

Au moins un, exactement k, au plus k

La phrase au moins un succès invite à considérer son contraire, aucun succès : $$\boxed{P(X\ge1)=1-(1-p)^n}.$$ Pour $P(X\le k)$, on additionne les probabilités des valeurs $0,1,\ldots,k$. On ne confond pas $X=k$ avec $X\le k$ ou $X\ge k$.

Exemple - Cinq propositions indépendantes

Un modèle suppose cinq réponses indépendantes, chacune favorable avec probabilité $0{,}2$. Le nombre $X$ de réponses favorables suit $\mathcal B(5,0{,}2)$. Alors $$P(X=2)=\binom52(0{,}2)^2(0{,}8)^3=0{,}2048, \qquad P(X\ge1)=1-0{,}8^5=0{,}67232.$$ L’espérance est $1$ et la variance $0{,}8$. Ces hypothèses doivent être données ou justifiées par le modèle ; des réponses commerciales réelles ne sont pas automatiquement indépendantes.

Simuler une épreuve de probabilité p

Un générateur uniforme sur $[0;1[$ permet de représenter un succès par $U<p$ et un échec par $U\ge p$. On répète avec des tirages indépendants, on compte les succès et on divise par le nombre de répétitions. Un tableur ou une calculatrice peut afficher cette fréquence pour plusieurs tailles d’échantillon. Pour simuler une variable binomiale, on regroupe les essais par blocs de $n$ et on compte les succès de chaque bloc. Les fréquences des valeurs $0,\ldots,n$ se comparent à la loi calculée. Il faut distinguer le nombre d’essais par bloc du nombre total de blocs simulés.

Exercices corrigés - Compter et conditionner

Exercice 1 - Groupe ou postes distincts

Une entreprise choisit trois personnes parmi douze. Combien de groupes sont possibles ? Combien de choix si les postes de responsable, adjoint et rapporteur sont distincts ? Solution. Sans ordre, il existe $\binom{12}3=12\times11\times10/6=\boxed{220}$ groupes. Pour trois postes distincts, l’ordre compte : $A_{12}^3=12\times11\times10=\boxed{1\,320}$ affectations. Une personne ne peut occuper plusieurs des trois postes dans ce modèle.

Exercice 2 - Un échantillon sans remise

Un lot contient sept articles standard et trois premium. Deux articles sont choisis simultanément et uniformément. Calculer la probabilité d’obtenir deux premium, puis au moins un premium. Solution. Les $\binom{10}2=45$ paires sont équiprobables. Deux premium donnent $\binom32=3$ paires, donc $P=\boxed{1/15}$. Le contraire d’au moins un premium est deux standard, soit $\binom72=21$ paires. Ainsi $$\boxed{P(\text{au moins un premium})=1-\frac{21}{45}=\frac8{15}}.$$ Les catégories standard/premium ne sont pas des issues équiprobables ; ce sont les paires d’articles qui le sont.

Exercice 3 - Union et complément

Pour deux services $A$ et $B$, on donne $P(A)=0{,}45$, $P(B)=0{,}35$ et $P(A\cap B)=0{,}12$. Calculer la probabilité d’utiliser au moins un service, aucun et exactement un. Solution. L’union vaut $0{,}45+0{,}35-0{,}12=\boxed{0{,}68}$. Son contraire vaut $\boxed{0{,}32}$. Exactement un service correspond à l’union privée de l’intersection, donc $0{,}68-0{,}12=\boxed{0{,}56}$.

Exercice 4 - Deux tirages successifs sans remise

Un lot contient six articles $A$ et quatre articles $B$. On tire deux articles sans remise. Calculer $P(A_2\mid A_1)$, $P(A_1\cap A_2)$ et $P(A_2)$, où l’indice désigne le tirage. Solution. Après un premier $A$, il reste cinq $A$ sur neuf articles, donc $P(A_2\mid A_1)=\boxed{5/9}$. Les deux $A$ ont une probabilité $(6/10)(5/9)=\boxed{1/3}$. Par les deux branches initiales, $$P(A_2)=\frac6{10}\frac59+\frac4{10}\frac69 =\frac13+\frac4{15}=\boxed{\frac35}.$$ Comme $5/9\ne3/5$, connaître le premier résultat change la probabilité du second : les événements ne sont pas indépendants.

Exercices corrigés - Origine, indépendance et gain

Exercice 5 - Retrouver un fournisseur

Une entreprise reçoit $80\,\%$ de ses articles de $A$ et $20\,\%$ de $B$. Les taux de défaut sont $3\,\%$ chez $A$ et $6\,\%$ chez $B$. Un article choisi selon ces proportions est défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de $B$ ? Solution. Notons $D$ le défaut. On calcule d’abord $$P(D)=0{,}8(0{,}03)+0{,}2(0{,}06)=0{,}036.$$ L’intersection $B\cap D$ a pour probabilité $0{,}012$. Comme $P(D)>0$, $$\boxed{P(B\mid D)=\frac{0{,}012}{0{,}036}=\frac13}.$$ La probabilité initiale $0{,}2$ a changé après l’information du défaut. Le résultat $1/3$ n’est pas le taux de défaut $0{,}06$ du fournisseur.

Exercice 6 - Tester l’indépendance

On donne $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}12$. Les événements sont-ils indépendants ? Incompatibles ? Calculer $P(\overline A\cap\overline B)$. Solution. Le produit $P(A)P(B)=0{,}12$ égale l’intersection : les événements sont indépendants. Ils ne sont pas incompatibles, puisque l’intersection a une probabilité non nulle. Par indépendance des contraires, $$\boxed{P(\overline A\cap\overline B)=0{,}6\times0{,}7=0{,}42}.$$ On retrouve le résultat avec $1-P(A\cup B)=1-(0{,}4+0{,}3-0{,}12)=0{,}42$.

Exercice 7 - Loi d’un résultat net

Une opération commerciale a un résultat net $X$ égal à $-20$, $30$ ou $80$, avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$. Calculer l’espérance, la variance et l’écart type. Quel est l’effet d’un coût fixe supplémentaire de $5$ ? Solution. Les probabilités totalisent $1$. On obtient $$E(X)=-20(0{,}5)+30(0{,}3)+80(0{,}2)=\boxed{15}.$$ Puis $E(X^2)=400(0{,}5)+900(0{,}3)+6\,400(0{,}2)=1\,750$. Ainsi $$\boxed{V(X)=1\,750-15^2=1\,525},\qquad \boxed{\sigma(X)=5\sqrt{61}}.$$ Pour $Y=X-5$, $E(Y)=10$ et $V(Y)=1\,525$ ; l’écart type est inchangé. Le coût fixe déplace les valeurs sans modifier leurs écarts à la nouvelle espérance.

Exercices corrigés - Binomiale et simulation

Exercice 8 - Trois réponses indépendantes

Trois demandes reçoivent chacune une réponse favorable avec probabilité $1/4$, indépendamment. Soit $X$ le nombre de réponses favorables. Donner sa loi, $P(X=2)$, $P(X\ge1)$, son espérance et sa variance. Solution. Le nombre d’épreuves est fixé, elles sont indépendantes et la probabilité de succès est constante. Donc $X\sim\mathcal B(3,1/4)$ et $$P(X=k)=\binom3k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3.$$ On calcule $\boxed{P(X=2)=9/64}$ et $\boxed{P(X\ge1)=1-(3/4)^3=37/64}$. Enfin $\boxed{E(X)=3/4}$, $\boxed{V(X)=9/16}$ et $\sigma(X)=3/4$. Une espérance non entière n’est pas un nombre de réponses observé dans une expérience : c’est une moyenne théorique.

Exercice 9 - Combien d’essais pour un seuil ?

Des essais indépendants ont chacun une probabilité de succès $0{,}2$. Trouver le plus petit nombre $n\ge1$ tel que la probabilité d’au moins un succès soit au moins $0{,}99$. Solution. Aucun succès a la probabilité $0{,}8^n$. On cherche $$1-0{,}8^n\ge0{,}99\iff0{,}8^n\le0{,}01 \iff n\ge\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}.$$ La division inverse le sens car $\ln(0{,}8)<0$. Pour identifier l’entier, $0{,}8^{20}\approx0{,}011529>0{,}01$ et $0{,}8^{21}\approx0{,}009223<0{,}01$. Donc $\boxed{n=21}$. Le seuil est une probabilité de succès global, pas une certitude.

Exercice 10 - Interpréter une simulation

On simule $2\,000$ essais indépendants de probabilité de succès $0{,}2$ et on observe $396$ succès. Calculer la fréquence. Était-il obligatoire d’obtenir $400$ succès ? Quelle est la probabilité de succès au prochain essai dans ce modèle ? Solution. La fréquence vaut $396/2\,000=\boxed{0{,}198}$, soit $19{,}8\,\%$. Son écart à $0{,}2$ est $0{,}002$, ou $0{,}2$ point de pourcentage. Le nombre de succès suit $\mathcal B(2\,000,0{,}2)$, d’espérance $400$, mais cette espérance ne fixe pas le résultat observé : $396$ est possible. Les essais futurs étant indépendants et de même probabilité, la probabilité de succès au prochain essai reste $\boxed{0{,}2}$. Un écart passé ne doit pas être automatiquement compensé au prochain tirage. Refaire la simulation donnera en général une autre fréquence ; on compare les fluctuations sur plusieurs répétitions au lieu d’imposer une égalité exacte.