Continuité, dérivation et étude des fonctions - Cours et exercices corrigés | 2e Bac sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

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Objectifs. Étudier une fonction à partir de son domaine, de ses limites et de sa dérivée. Déterminer des images d’intervalles, construire une réciproque, encadrer une solution et résoudre des problèmes d’optimisation ou d’approximation dans un modèle économique.

Continuité : la limite rejoint la valeur

Une fonction $f$ est continue en un point $a$ de son domaine lorsque $$\boxed{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}.$$ Cette condition exige à la fois que $f(a)$ existe et que la limite corresponde à cette valeur. Aux bornes d’un intervalle, on considère la limite du côté où la fonction est définie. À un point intérieur, les limites à gauche et à droite doivent être égales à $f(a)$.

Exemple - Un raccord à examiner des deux côtés

Soit $f(x)=x+1$ pour $x<1$ et $f(x)=x^2+k$ pour $x\ge1$. La limite à gauche en $1$ est $2$ ; à droite, la limite et la valeur sont $1+k$. La continuité au raccord équivaut donc à $k=1$.

Les fonctions usuelles et leurs opérations

Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$, les fonctions rationnelles là où leur dénominateur est non nul, et $x\mapsto\sqrt x$ sur $[0;+\infty[$. Les sommes, produits et multiples de fonctions continues sont continus ; leur quotient l’est là où le dénominateur ne s’annule pas. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g\circ f$ est continue sur $I$. Par exemple, $\sqrt{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$, car $x^2+1>0$.

Limites : choisir la transformation adaptée

Pour un quotient de polynômes à l’infini, on divise par une puissance dominante. Devant une différence de racines, on essaie la quantité conjuguée. Près d’un zéro commun au numérateur et au dénominateur, on cherche une factorisation. $$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4, \qquad \sqrt{x^2+1}-x=\frac1{\sqrt{x^2+1}+x}\longrightarrow0 \quad(x\to+\infty).$$ La première expression n’est pas définie en $2$, mais sa limite existe. La continuité en $2$ n’a de sens qu’après avoir choisi une valeur au point manquant.

Un domaine mathématique et un domaine de modèle

Une formule peut être définie pour des quantités négatives alors que son modèle économique ne l’est pas. L’étude demandée porte sur l’intervalle autorisé par l’énoncé : quantités positives, capacité maximale, prix admissibles, etc.

Images d’intervalles et recherche de solutions

Le théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, elle prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$. En particulier, si $f(a)f(b)<0$, il existe au moins un $c\in]a;b[$ tel que $f(c)=0$.

Existence et unicité sont deux conclusions différentes

La continuité et le changement de signe donnent l’existence d’un zéro. Si, en plus, la fonction est strictement monotone sur l’intervalle, ce zéro est unique. Sans monotonie, plusieurs zéros peuvent exister.

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L’image d’un segment est un segment, dont les bornes sont le minimum et le maximum atteints. Si la fonction n’est pas monotone, ces extrema ne sont pas nécessairement aux extrémités : $x^2([-1;2])=[0;4]$. Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a;b]$, alors $f([a;b])=[f(a);f(b)]$. Si elle est strictement décroissante, l’ordre des bornes s’inverse. Sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, on utilise les limites aux extrémités et on vérifie si les valeurs sont atteintes.

Exemple - Une image avec une borne non atteinte

Sur $I=[0;2[$, $f(x)=x^3+x$ est continue et strictement croissante. On a $f(0)=0$ et $\lim_{x\to2^-}f(x)=10$, mais $2\notin I$. Donc $f(I)=[0;10[$.

Encadrer par dichotomie

Supposons qu’une fonction continue possède un zéro dans $[a;b]$ avec des signes opposés aux bornes. On calcule au milieu $m=(a+b)/2$, puis on conserve la moitié présentant encore un changement de signe. Si $f(m)=0$, on a trouvé le zéro exactement. Après $N$ découpages, la largeur vaut $(b-a)/2^N$. Le milieu du dernier intervalle approche un zéro de cet intervalle avec une erreur au plus égale à la moitié de cette largeur.

Exemple - Quatre étapes pour un zéro unique

Pour $h(x)=x^3+x-1$, $h'>0$ sur $\mathbb{R}$, $h(0)<0<h(1)$. Les étapes successives sont :

Étape	Milieu	Signe de $h$ au milieu	Intervalle conservé
1	$0{,}5$	$-$	$[0{,}5;1]$
2	$0{,}75$	$+$	$[0{,}5;0{,}75]$
3	$0{,}625$	$-$	$[0{,}625;0{,}75]$
4	$0{,}6875$	$+$	$[0{,}625;0{,}6875]$

Le milieu final $0{,}65625$ a une erreur au plus $0{,}03125$. Une valeur affichée par une calculatrice devient un encadrement justifié grâce à la continuité et aux signes.

Fonction réciproque

Une restriction qui rend la fonction bijective

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$. Chaque $y\in J$ possède un unique antécédent dans $I$, noté $f^{-1}(y)$. $$\boxed{f^{-1}(f(x))=x\ (x\in I)},\qquad \boxed{f(f^{-1}(y))=y\ (y\in J)}.$$ La réciproque est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$. Ses courbes et celle de $f$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$, car $(x,y)$ est remplacé par $(y,x)$.

Exemple - Le carré sur les réels positifs

La fonction $x\mapsto x^2$ n’est pas injective sur $\mathbb{R}$. Sa restriction à $[0;+\infty[$ est continue et strictement croissante, d’image $[0;+\infty[$. Sa réciproque est $y\mapsto\sqrt y$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Calculer une réciproque et respecter son domaine

Pour $f(x)=2x+3$ sur $I=[0;4]$, l’image est $J=[3;11]$. Résoudre $y=2x+3$ donne $x=(y-3)/2$. La réciproque est donc $f^{-1}(y)=(y-3)/2$, définie sur $[3;11]$ et à valeurs dans $[0;4]$.

Dérivée d’une réciproque

Si $a$ est intérieur à $I$, si $f$ est dérivable en $a$ et si $f'(a)\ne0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b=f(a)$ et $$\boxed{(f^{-1})'(b)=\frac1{f'(a)}}.$$ On doit repérer l’antécédent $a$, pas remplacer directement $a$ par $b$. La condition $f'(a)\ne0$ est essentielle : pour $f(x)=x^3$, la réciproque possède en $0$ une tangente verticale et n’y a pas de dérivée réelle finie.

Dériver, approcher, étudier un signe

Les règles de calcul

Pour des fonctions dérivables, $(u+v)'=u'+v'$, $(\lambda u)'=\lambda u'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ là où $v\ne0$. Si $u$ est dérivable et $f$ dérivable aux valeurs considérées, $$\boxed{(f\circ u)'=(f'\circ u)u'}.$$ En particulier, $$(u^n)'=nu'u^{n-1},\qquad \left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2},\qquad (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\quad(u>0).$$ Pour un entier $n\ge3$ et une fonction $u>0$, $$\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\frac{u'}{n\bigl(\sqrt[n]{u}\bigr)^{n-1}}.$$ Cette formule de dérivation ne signifie pas qu’une étude générale des fonctions racines d’ordre $n$ est nécessaire. Pour les puissances entières négatives et les quotients, on conserve les exclusions des zéros.

Tangente et approximation locale

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente au point $(a,f(a))$ a pour équation $$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}.$$ Pour un petit accroissement $h$, on utilise $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$. Il s’agit d’une approximation locale, pas d’une identité. Une dérivée exprime un taux de variation instantané ; un accroissement exact est une différence de valeurs.

Exemple - Estimer une racine

Pour $f(x)=\sqrt x$, $f(4)=2$ et $f'(4)=1/4$. On prévoit donc $\sqrt{4{,}08}\approx2+0{,}08/4=2{,}02$. L’exercice 7 établira un contrôle direct de ce type d’approximation.

Variation, extrema et courbure

Sur un intervalle, $f'\ge0$ assure la croissance et $f'\le0$ la décroissance. Pour déterminer un extremum intérieur, on étudie le changement de signe de $f'$. La seule égalité $f'(a)=0$ ne suffit pas : $x^3$ a une dérivée nulle en $0$ mais aucun extremum en ce point. Sur un segment, un maximum global se cherche parmi les points critiques intérieurs et les extrémités. Si une dérivée seconde existe, $f''\ge0$ indique la convexité et $f''\le0$ la concavité ; un changement de signe de $f''$ en un point de la courbe donne un point d’inflexion.

Organiser une étude de fonction

Les étapes qui donnent un tracé justifié

On détermine d’abord le domaine, puis les limites à ses bornes, la dérivée et son signe. Le tableau de variations rassemble les limites et les valeurs aux points critiques. Les zéros, tangentes, asymptotes et éventuelles symétries permettent ensuite de tracer une courbe cohérente. La droite $x=a$ est une asymptote verticale si une limite latérale en $a$ est infinie. La droite $y=L$ est une asymptote horizontale si $f(x)\to L$ à l’un des infinis. La droite $y=mx+p$ est une asymptote oblique si $$f(x)-(mx+p)\longrightarrow0\quad\text{à l'infini étudié}.$$ Le signe de cette différence situe la courbe au-dessus ou au-dessous de la droite. Une branche infinie peut ne pas avoir d’asymptote droite : une limite infinie seule ne suffit pas à en déclarer une.

Vérifier une symétrie

Sur un domaine symétrique par rapport à $0$, l’identité $f(-x)=f(x)$ donne une symétrie d’axe $Oy$ ; $f(-x)=-f(x)$ donne une symétrie de centre l’origine. Plus généralement, $(a,b)$ est un centre de symétrie si, pour les valeurs autorisées, $$f(a+t)+f(a-t)=2b,$$ avec un domaine lui-même symétrique par rapport à $a$.

Exemple complet avec une racine carrée

Soit $g(x)=\sqrt{x+1}-x$. Son domaine est $[-1;+\infty[$ ; elle y est continue, et dérivable pour $x>-1$, avec $$g'(x)=\frac1{2\sqrt{x+1}}-1.$$ La dérivée est positive pour $-1<x<-3/4$, nulle en $-3/4$, négative au-delà. La fonction croît de $g(-1)=1$ à son maximum $g(-3/4)=5/4$, puis décroît vers $-\infty$. Pour cette dernière limite, écrire $g(x)=x(\sqrt{x+1}/x-1)$ ; le quotient tend vers $0$. Pour les zéros, $\sqrt{x+1}=x$ exige $x\ge0$. L’élévation au carré donne $x^2-x-1=0$, donc l’unique zéro est $(1+\sqrt5)/2$. La racine négative du trinôme ne vérifie pas l’équation initiale. Au bord $-1$, avec $h>0$, $$\frac{g(-1+h)-g(-1)}h=\frac1{\sqrt h}-1\longrightarrow+\infty.$$ La courbe possède une demi-tangente verticale en $(-1,1)$. Ce point appartient au domaine : il ne s’agit pas d’une asymptote.

Une étude rationnelle avec asymptote oblique

Soit $$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac2{x-1},\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$ On a $f(x)\to-\infty$ en $1^-$ et $f(x)\to+\infty$ en $1^+$. La droite $x=1$ est une asymptote verticale. Aux deux infinis, $f(x)-(x+1)=2/(x-1)\to0$, donc $y=x+1$ est une asymptote oblique. La courbe est au-dessous de cette droite pour $x<1$ et au-dessus pour $x>1$. La dérivée se factorise sous la forme $$f'(x)=1-\frac2{(x-1)^2} =\frac{(x-1-\sqrt2)(x-1+\sqrt2)}{(x-1)^2}.$$ Elle est positive sur $]-\infty;1-\sqrt2[$ et $]1+\sqrt2;+\infty[$, négative sur les deux intervalles séparés par $1$ entre ces racines. Ainsi :

• sur la branche gauche, $f$ monte de $-\infty$ à $2-2\sqrt2$, puis redescend vers $-\infty$ ;

• sur la branche droite, $f$ descend de $+\infty$ à $2+2\sqrt2$, puis remonte vers $+\infty$.

Ces extrema sont atteints en $1-\sqrt2$ et $1+\sqrt2$. Pour $t\ne0$, $f(1+t)=2+t+2/t$ et $f(1-t)=2-t-2/t$, donc $(1,2)$ est un centre de symétrie.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’image de la branche gauche est $]-\infty;2-2\sqrt2]$ et celle de la branche droite $[2+2\sqrt2;+\infty[$. Le numérateur $x^2+1$ n’est jamais nul : la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.

Exercices corrigés - Continuité et inverse

Exercice 1 - Compléter un point manquant

Soit $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ pour $x\ne2$ et $f(2)=a$. Déterminer $a$ pour rendre $f$ continue, puis calculer $f'(2)$ pour cette valeur. Solution. Pour $x\ne2$, $f(x)=x+2$, donc $\lim_{x\to2}f(x)=4$. La continuité impose $\boxed{a=4}$. Avec cette valeur, $f(x)=x+2$ pour tout réel, y compris $2$. Par conséquent $\boxed{f'(2)=1}$. Une simplification en dehors du point ne fixait pas, à elle seule, la valeur initialement attribuée au point.

Exercice 2 - Une image et une réciproque décroissante

Étudier la fonction $f(x)=1/(x+1)$ sur $I=[0;3]$, déterminer son image $J$ et sa réciproque, puis calculer $(f^{-1})'(1/2)$. Solution. La fonction est continue et $f'(x)=-1/(x+1)^2<0$. Elle décroît strictement de $1$ à $1/4$, donc $J=[1/4;1]$ et $f$ est une bijection de $I$ sur $J$. Résoudre $y=1/(x+1)$ donne $$\boxed{f^{-1}(y)=\frac1y-1\quad(y\in[1/4;1])}.$$ Sa dérivée est $-1/y^2$ à l’intérieur de $J$, donc $\boxed{(f^{-1})'(1/2)=-4}$. Par la formule inverse, l’antécédent est $x=1$, $f'(1)=-1/4$ et son inverse vaut aussi $-4$.

Exercice 3 - Encadrer un seuil unique

Montrer que $h(x)=x^3+2x-2$ possède un unique zéro réel $\alpha$, puis prouver $0{,}77<\alpha<0{,}78$. Quelle précision obtient-on avec le milieu ? Solution. La fonction est continue sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=3x^2+2>0$ : elle est strictement croissante. Ses limites sont $-\infty$ et $+\infty$, donc elle prend la valeur $0$ une et une seule fois. $$h(0{,}77)=-0{,}003467<0,\qquad h(0{,}78)=0{,}034552>0.$$ Le théorème des valeurs intermédiaires donne l’encadrement annoncé. Son milieu est $0{,}775$ et $$\boxed{|\alpha-0{,}775|<0{,}005}.$$ Cette borne porte sur l’erreur absolue. Une nouvelle étape de dichotomie diviserait encore par deux la largeur de l’intervalle.

Exercices corrigés - Dérivation et étude rationnelle

Exercice 4 - Trois dérivées composées

Dériver $u(x)=\sqrt{1+3x^2}$, $v(x)=(2x+1)^{-3}$ et $w(x)=\sqrt[5]{x^2+1}$ sur leurs domaines de dérivabilité. Solution. L’argument de la première racine est strictement positif, donc $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$\boxed{u'(x)=\frac{3x}{\sqrt{1+3x^2}}}.$$ La fonction $v$ est définie et dérivable pour $x\ne-1/2$. La règle de la puissance composée donne $\boxed{v'(x)=-6/(2x+1)^4}$. Enfin $x^2+1>0$ sur $\mathbb{R}$, donc $$\boxed{w'(x)=\frac{2x}{5(x^2+1)^{4/5}}\quad(x\in\mathbb{R})}.$$ Chaque calcul contient la dérivée de la fonction intérieure.

Exercice 5 - Dériver une inverse sans formule explicite

Soit $f(x)=x^3+x$ sur $\mathbb{R}$, et $g=f^{-1}$. Justifier l’existence de $g$, calculer $g'(2)$ et donner sa tangente au point d’abscisse $2$. Solution. La fonction est continue, $f'(x)=3x^2+1>0$ et ses limites aux infinis sont celles d’une bijection vers $\mathbb{R}$. Elle admet donc une réciproque sur $\mathbb{R}$. Puisque $f(1)=2$, on a $g(2)=1$ et $$\boxed{g'(2)=\frac1{f'(1)}=\frac14},\qquad \boxed{T:\ y=1+\frac14(x-2)}.$$ La dérivée ne se calcule pas avec $1/f'(2)$ : le point de départ est l’antécédent $1$.

Exercice 6 - Une fonction homographique

Étudier $h(x)=(x+2)/(x-1)$, puis résoudre $h(x)\ge2$. Solution. Son domaine est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et $h(x)=1+3/(x-1)$. Elle admet $x=1$ comme asymptote verticale et $y=1$ comme asymptote horizontale aux deux infinis. Les limites en $1^-$ et $1^+$ sont respectivement $-\infty$ et $+\infty$. La dérivée $h'(x)=-3/(x-1)^2$ est négative. La branche gauche décroît de la limite $1$ vers $-\infty$ ; la droite décroît de $+\infty$ vers la limite $1$. Le point $(1,1)$ est un centre de symétrie, puisque $h(1+t)+h(1-t)=2$. Enfin, $$h(x)\ge2\iff\frac{4-x}{x-1}\ge0.$$ Le numérateur s’annule en $4$, le dénominateur en $1$. Le tableau de signes donne $\boxed{S=]1;4]}$ : $1$ est exclu et $4$ est inclus.

Exercices corrigés - Approximation et bénéfice

Exercice 7 - Contrôler une approximation par une identité

Pour $r(x)=\sqrt{4+x}$, trouver la tangente en $0$, puis montrer que, pour $-1\le x\le1$, $$\left|\sqrt{4+x}-\left(2+\frac x4\right)\right|\le\frac{x^2}{36}.$$ Solution. La fonction est définie sur $[-4;+\infty[$ et dérivable pour $x>-4$. On a $r(0)=2$ et $r'(0)=1/4$, donc la tangente est $y=2+x/4$. Posons $s=\sqrt{4+x}$. En rationalisant deux fois, $$s-2-\frac x4=\frac x{s+2}-\frac x4 =\frac{x(2-s)}{4(s+2)}=-\frac{x^2}{4(s+2)^2}.$$ Sur $[-1;1]$, $s\ge\sqrt3>1$, donc $4(s+2)^2\ge36$. La valeur absolue est donc au plus $x^2/36$. Le signe négatif montre aussi que la tangente est au-dessus de la courbe sur cet intervalle. Pour $x=0{,}08$, la valeur $2{,}02$ approche $\sqrt{4{,}08}$ avec une erreur au plus $0{,}08^2/36<0{,}00018$. On obtient ainsi une précision justifiée sans confondre approximation et égalité.

Exercice 8 - Maximiser un bénéfice sur un domaine imposé

Dans un modèle, le bénéfice en centaines de DH est $B(x)=-2x^2+80x-300$, où $x\in[0;30]$ représente une quantité de production. Déterminer le maximum et le domaine de rentabilité stricte. Si $x$ doit être entier, préciser les conséquences. Solution. La dérivée est $B'(x)=80-4x$, positive pour $x<20$, nulle en $20$, négative pour $x>20$. Le bénéfice croît sur $[0;20]$, puis décroît sur $[20;30]$. Il atteint son maximum global en $20$ : $$\boxed{B(20)=500\text{ centaines de DH}=50\,000\text{ DH}}.$$ Les valeurs aux bornes sont $B(0)=-300$ et $B(30)=300$, toutes deux inférieures. Pour la rentabilité, $$B(x)>0\iff x^2-40x+150<0.$$ Les racines sont $20\pm5\sqrt{10}$. Le trinôme est négatif entre elles ; après intersection avec le domaine $[0;30]$, on obtient $$\boxed{x\in]20-5\sqrt{10};30]}.$$ Si $x$ est entier, les quantités rentables sont $5,6,\ldots,30$, et le maximum est toujours obtenu en $x=20$. Le contexte discret impose de vérifier les entiers admissibles, même quand on utilise une fonction continue pour guider le choix.

Exercices corrigés - Coût moyen et coût marginal

Exercice 9 - Minimiser un coût par unité

Le coût total d’une quantité $x>0$ est $C(x)=x^2+12x+144$. Étudier le coût moyen $M(x)=C(x)/x$ et déterminer son minimum. Identifier une asymptote à l’infini et interpréter le rôle du coût fixe. Solution. Pour $x>0$, $$M(x)=x+12+\frac{144}{x},\qquad M'(x)=1-\frac{144}{x^2}=\frac{(x-12)(x+12)}{x^2}.$$ La dérivée est négative pour $0<x<12$ et positive pour $x>12$. Le coût moyen décroît depuis $+\infty$ en $0^+$ jusqu’à $M(12)=36$, puis croît vers $+\infty$. Donc $$\boxed{\min_{x>0}M(x)=36\text{, atteint uniquement pour }x=12}.$$ Comme $M(x)-(x+12)=144/x\to0$ en $+\infty$, la droite $y=x+12$ est une asymptote oblique. La courbe est située au-dessus, puisque $144/x>0$. La part du coût fixe $144$ par unité devient faible quand la quantité augmente, mais la part $x$ croît : une baisse permanente du coût moyen ne suit pas de la seule répartition du coût fixe. On peut confirmer le minimum sans dérivée par $$M(x)-36=x-24+\frac{144}{x}=\frac{(x-12)^2}{x}\ge0.$$ Les deux méthodes donnent la même valeur et la même condition d’égalité.

Exercice 10 - Une dérivée n’est pas une différence exacte

Sur $[0;6]$, un coût est $C(x)=x^3-6x^2+20x+80$. Étudier sa variation, son changement de courbure, puis estimer $C(3{,}1)$ à partir de la tangente en $3$ et comparer à la valeur exacte. Solution. On a $$C'(x)=3x^2-12x+20=3(x-2)^2+8>0.$$ Le coût est strictement croissant sur l’intervalle. Sa dérivée seconde $C''(x)=6x-12$ change de signe de négatif à positif en $2$ ; la courbe passe de concave à convexe, avec un point d’inflexion en $(2,C(2))=(2,104)$. Au point $3$, $C(3)=113$ et $C'(3)=11$. L’approximation affine donne $$\boxed{C(3{,}1)\approx113+0{,}1\times11=114{,}1}.$$ Le calcul exact donne $C(3{,}1)=114{,}131$, soit un écart de $0{,}031$. Le coût marginal $C'(3)=11$ est un taux instantané ; l’accroissement exact entre $3$ et $3{,}1$ vaut $1{,}131$, tandis que son approximation linéaire est $1{,}1$.