Calcul trigonométrique - Cours et exercices corrigés | 1re Bac scientifique

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Transformer une expression, calculer une valeur exacte, résoudre une équation ou une inéquation et lire ses solutions sur le cercle. Les angles sont exprimés en radians. Les formules servent à justifier les transformations, avec leurs conditions de définition.

Le cercle donne les angles et les signes

Sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, le point associé à $x$ a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$. Deux angles associés au même point diffèrent de $2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Un tour vaut $2\pi$ radians, donc $180^\circ=\pi$ radians.

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos x$	$1$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	$0$
$\sin x$	$0$	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$	$1$
$\tan x$	$0$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$	non définie

Identités et domaine de la tangente

Pour tout réel $x$, $\cos^2x+\sin^2x=1$. La tangente est définie seulement si $\cos x\ne0$ : $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad x\ne\frac\pi2+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$$

Réduire un angle sans changer son signe par erreur

On a $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, puis $$\cos(\pi-x)=-\cos x,\quad\sin(\pi-x)=\sin x, \qquad\cos(x+\pi)=-\cos x,\quad\sin(x+\pi)=-\sin x.$$ Ainsi $\cos(5\pi/6)=-\sqrt3/2$ et $\sin(5\pi/6)=1/2$. La tangente a pour période $\pi$ ; sinus et cosinus ont pour période $2\pi$.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’arc coloré correspond, sur $[0;2\pi]$, aux angles de $[\pi/6;5\pi/6]$. On compare ici une ordonnée à $1/2$ ; pour une condition sur le cosinus, on compare les abscisses.

Addition, différence et angle double

Quatre formules valables pour tous réels $a,b$

$$\begin{align*} \cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b, & \cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\\ \sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b, & \sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b. \end{align*}$$

Justification du signe. Les vecteurs unitaires d’angles $a$ et $b$ ont un produit scalaire égal à $\cos(a-b)$, mais aussi à $\cos a\cos b+\sin a\sin b$. Remplacer $b$ par $-b$ donne la formule de $\cos(a+b)$. Les formules du sinus s’en déduisent avec $\sin t=\cos(\pi/2-t)$.

Exemple - Un angle de $15^\circ$

Comme $\pi/12=\pi/4-\pi/6$, $$\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt2}2\frac{\sqrt3}2+ \frac{\sqrt2}2\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ Le signe est cohérent : l’angle est proche de $0$, donc son cosinus est positif et proche de $1$.

Doubler un angle

Prendre $a=b=x$ donne $$\boxed{\sin(2x)=2\sin x\cos x},\qquad \boxed{\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x}.$$ En utilisant $\sin^2x+\cos^2x=1$, on obtient aussi $$\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x, \qquad\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2,\quad \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2.$$ Ces dernières identités transforment des carrés en expressions ne contenant plus de carré. En revanche, extraire une racine exige un signe : $$\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}2}=|\sin x|,$$ et non toujours $\sin x$.

La tangente impose des conditions supplémentaires

Lorsque les trois tangentes concernées sont définies, $$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}, \qquad \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.$$ On exige $\cos a\ne0$, $\cos b\ne0$ et un dénominateur final non nul. Pour $\tan(2x)=2\tan x/(1-\tan^2x)$, il faut donc $\cos x\ne0$ et $\tan x\ne\pm1$.

Une formule ne modifie pas le domaine de départ

L’égalité $(1-\cos 2x)/\sin 2x=\tan x$ est valable là où $\sin 2x\ne0$. Même si la forme simplifiée est définie en $x=0$, le quotient initial ne l’est pas.

Passer d’une somme à un produit

Factoriser une somme trigonométrique

Les formules suivantes découlent des additions en posant $u=(a+b)/2$ et $v=(a-b)/2$, donc $a=u+v$, $b=u-v$ :

Sommes et différences

$$\begin{align*} \sin a+\sin b&=2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2,\\ \sin a-\sin b&=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\\ \cos a+\cos b&=2\cos\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2,\\ \cos a-\cos b&=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2. \end{align*}$$

Exemple - Faire apparaître un produit nul

$$\cos(3x)+\cos x=2\cos(2x)\cos x.$$ Résoudre $\cos(3x)+\cos x=0$ revient donc à résoudre $\cos(2x)=0$ ou $\cos x=0$. Diviser directement par $\cos x$ aurait perdu la seconde famille.

Développer un produit en somme

Additionner ou soustraire les formules de la page précédente donne $$\begin{align*} 2\cos a\cos b&=\cos(a+b)+\cos(a-b),\\ 2\sin a\sin b&=\cos(a-b)-\cos(a+b),\\ 2\sin a\cos b&=\sin(a+b)+\sin(a-b). \end{align*}$$ Par exemple, $$\sin(3x)\sin x=\tfrac12\bigl(\cos(2x)-\cos(4x)\bigr).$$ Le choix de la forme dépend du problème : une factorisation aide à résoudre un produit nul ; une somme peut faciliter une comparaison ou une simplification.

Exemple - Démontrer une identité

Pour tout réel $x$, $$\sin(x+\pi/3)+\sin(x-\pi/3) =2\sin x\cos(\pi/3)=\sin x.$$ L’identité est vraie sur $\mathbb{R}$, puisque chaque expression y est définie. Ce raisonnement prouve l’égalité pour tous les angles ; une vérification numérique sur trois angles ne le ferait pas.

Égalités utiles, transformations réversibles

Une identité peut être remplacée dans une équation sans changer ses solutions. Élever au carré peut ajouter des solutions et diviser peut en enlever : on traite les signes et les facteurs nuls avant ces opérations.

Une seule sinusoïde et les équations de base

Transformer $a\cos x+b\sin x$

Si $(a,b)\ne(0,0)$, posons $R=\sqrt{a^2+b^2}>0$. Il existe un angle $\varphi$, déterminé modulo $2\pi$, tel que $$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$ La formule d’addition donne alors $$\boxed{a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)}.$$ Il faut choisir le quadrant de $\varphi$ à partir des deux signes. La seule valeur de $\tan\varphi$ ne suffit pas. Si $a=b=0$, l’expression est simplement nulle : on ne divise pas par $R$.

Exemple - Amplitude et valeurs extrêmes

$$\sqrt3\cos x+\sin x=2\cos(x-\pi/6).$$ L’expression est comprise entre $-2$ et $2$. Son maximum $2$ est atteint pour $x=\pi/6+2k\pi$, et son minimum $-2$ pour $x=7\pi/6+2k\pi$.

Les familles de solutions sur $\mathbb{R}$

Pour tout réel $\alpha$, avec $k\in\mathbb{Z}$,

Résoudre avant de restreindre l’intervalle

$$\begin{align*} \cos x=\cos\alpha &\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi,\\ \sin x=\sin\alpha &\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi. \end{align*}$$ Si $\tan\alpha$ est définie, $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$.

Une équation $\sin x=c$ ou $\cos x=c$ n’a aucune solution si $|c|>1$. Aux valeurs $\pm1$, les deux familles usuelles peuvent se confondre : on ne compte pas deux fois le même angle.

Exemple - L’argument lui-même est une expression

Résoudre $\sin(2x-\pi/6)=1/2$ sur $\mathbb{R}$. Avec $t=2x-\pi/6$, on a $t=\pi/6+2k\pi$ ou $t=5\pi/6+2k\pi$. Donc $$x=\frac\pi6+k\pi\qquad\text{ou}\qquad x=\frac\pi2+k\pi.$$ Sur $[0;\pi]$, seules les valeurs $\pi/6$ et $\pi/2$ restent. Les valeurs de $k$ se choisissent pour chaque famille, en utilisant l’intervalle demandé.

Une expression polynomiale en sinus ou cosinus

Pour $2\cos^2x-\cos x-1=0$, on pose $t=\cos x\in[-1;1]$. L’équation devient $(2t+1)(t-1)=0$, donc $t=-1/2$ ou $t=1$. On résout ensuite les deux équations trigonométriques. Une racine algébrique hors de $[-1;1]$ serait à rejeter.

Lire et transformer une inéquation

Un arc représente un intervalle d’angles

Sur $[0;2\pi]$, $\sin x\ge1/2$ correspond à l’arc au-dessus de la droite $y=1/2$, soit $[\pi/6;5\pi/6]$. Sur $\mathbb{R}$, on répète cet intervalle par translations de $2k\pi$ : $$\sin x\ge\tfrac12\iff x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[\pi/6+2k\pi;5\pi/6+2k\pi].$$ De même, sur $[0;2\pi]$, $\cos x>1/2$ donne $$[0;\pi/3[\ \cup\ ]5\pi/3;2\pi].$$ Les angles $0$ et $2\pi$ sont admis : la valeur du cosinus y est $1$. Les angles $\pi/3$ et $5\pi/3$ sont exclus, car l’inégalité est stricte.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Changer d’argument et changer aussi d’intervalle

Pour une inéquation en $t=ax+b$, on calcule d’abord l’intervalle parcouru par $t$. Si $a<0$, l’ordre des bornes s’inverse. Après résolution en $t$, on revient à $x$ en résolvant les inégalités obtenues. Une division par un nombre négatif inverse chaque signe.

Exemple - Une fréquence double

Pour résoudre $\cos(2x)\le0$ sur $[0;\pi]$, on prend $t=2x\in[0;2\pi]$. Le cosinus est négatif ou nul pour $t\in[\pi/2;3\pi/2]$. Donc $x\in[\pi/4;3\pi/4]$.

La tangente se traite branche par branche

La tangente est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$ sur chaque intervalle $]-\pi/2+k\pi;\pi/2+k\pi[$. Ainsi, sur cette branche, $$\tan x\le1\iff -\pi/2+k\pi<x\le\pi/4+k\pi.$$ Les points $\pi/2+k\pi$ restent exclus, quelle que soit l’inégalité. La fonction n’est pas croissante à travers une valeur interdite.

Contrôle final

Vérifier le domaine, les extrémités ouvertes ou fermées, les périodes et l’intervalle demandé. Un point de chaque intervalle retenu aide à détecter une erreur de signe ; la justification repose sur les propriétés précédentes.

Exercices corrigés

Exercice 1 - Trois valeurs exactes

Calculer $\sin(\pi/12)$, $\cos(\pi/12)$ et $\tan(\pi/12)$. Solution. On utilise $\pi/12=\pi/4-\pi/6$ : $$\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ Le cosinus n’est pas nul, donc $$\tan\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2} =\frac{(\sqrt6-\sqrt2)^2}{6-2}=2-\sqrt3.$$ Les trois valeurs sont positives, ce qui concorde avec le premier quadrant.

Exercice 2 - Simplifier en conservant les exclusions

Simplifier $A(x)=(\sin3x+\sin x)/\cos x$ et préciser son domaine. Solution. L’expression est définie pour $x\ne\pi/2+k\pi$. La formule somme-produit donne $\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x$, donc $A(x)=2\sin2x$ sur ce domaine. La simplification ne permet pas de réintroduire les valeurs exclues. Par exemple, $2\sin\pi=0$ existe, mais $A(\pi/2)$ n’existe pas.

Exercice 3 - Factoriser avant de résoudre

Résoudre $\cos3x+\cos x=0$ sur $[0;2\pi[$. Solution. L’équation devient $2\cos2x\cos x=0$. D’une part, $\cos2x=0$ donne $x=\pi/4+k\pi/2$ ; dans l’intervalle, on retient $\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4$. D’autre part, $\cos x=0$ donne $\pi/2,3\pi/2$. L’ensemble solution est $$\left\{\frac\pi4,\frac\pi2,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4, \frac{3\pi}2,\frac{7\pi}4\right\}.$$ Les deux familles sont nécessaires et n’ont ici aucun élément commun.

Exercice 4 - Une équation du second degré

Résoudre $2\sin^2x-3\sin x+1=0$ sur $[0;2\pi]$. Solution. Avec $t=\sin x$, le trinôme se factorise en $(2t-1)(t-1)$. On obtient $\sin x=1/2$ ou $\sin x=1$. Les solutions sont respectivement $\pi/6,5\pi/6$ et $\pi/2$, donc $$S=\{\pi/6,\pi/2,5\pi/6\}.$$ Les bornes $0$ et $2\pi$ ne conviennent pas : le membre de gauche y vaut $1$.

Exercice 5 - Une combinaison de sinus et cosinus

Résoudre $\sqrt3\cos x+\sin x=1$ sur $[0;2\pi[$. Solution. Le membre de gauche vaut $2\cos(x-\pi/6)$. Donc $\cos(x-\pi/6)=1/2$, soit $$x-\pi/6=\pm\pi/3+2k\pi.$$ Les deux familles sont $x=\pi/2+2k\pi$ et $x=-\pi/6+2k\pi$. Dans l’intervalle demandé, $S=\{\pi/2,11\pi/6\}$. On vérifie par exemple qu’en $11\pi/6$, le membre de gauche est $3/2-1/2=1$.

Exercice 6 - Une inéquation sur deux périodes

Résoudre $\sin(2x)\ge1/2$ sur $[0;2\pi]$. Solution. Posons $t=2x\in[0;4\pi]$. Sur ces deux tours, le sinus est au moins égal à $1/2$ pour $$t\in[\pi/6;5\pi/6]\cup[13\pi/6;17\pi/6].$$ En divisant les bornes par $2$, on trouve $$\boxed{S=[\pi/12;5\pi/12]\cup[13\pi/12;17\pi/12]}.$$ Les quatre bornes sont incluses. Garder une seule période aurait omis le second intervalle.

Exercice 7 - Deux branches de tangente

Résoudre $\tan x\le1$ sur $]-\pi/2;3\pi/2[$. Solution. Le point $\pi/2$ est interdit. Sur $]-\pi/2;\pi/2[$, la croissance et $\tan(\pi/4)=1$ donnent $]-\pi/2;\pi/4]$. Sur $]\pi/2;3\pi/2[$, on utilise la période $\pi$, ce qui donne $]\pi/2;5\pi/4]$. Ainsi $$S=]-\pi/2;\pi/4]\cup]\pi/2;5\pi/4].$$ Les extrémités gauches sont exclues car la tangente n’y est pas définie.

Exercice 8 - Période, bornes et angles d’extremum

Pour $f(x)=\sqrt3\sin x-\cos x$, trouver une forme à une seule sinusoïde, une période, ses extrema et tous les points où ils sont atteints. Solution. $f(x)=2\sin(x-\pi/6)$, donc $2\pi$ est une période et $-2\le f(x)\le2$. Le maximum $2$ exige $x-\pi/6=\pi/2+2k\pi$, soit $x=2\pi/3+2k\pi$. Le minimum $-2$ exige $x-\pi/6=-\pi/2+2k\pi$, soit $x=-\pi/3+2k\pi$. Ces angles existent, donc les bornes sont effectivement atteintes.