Calcul matriciel et systèmes linéaires - Cours et exercices corrigés | 1re Bac Sciences économiques et gestion

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Organiser des données, calculer avec des matrices carrées d’ordre $2$, $3$ ou $4$, multiplier par une colonne et résoudre des systèmes par élimination. Les exemples de production sont des modèles scolaires : les unités et les contraintes de sens font partie de la réponse.

Lire et construire une matrice

Un tableau ordonné de nombres

Une matrice est un tableau de nombres réels, organisés en lignes et en colonnes. Le coefficient $a_{ij}$ se trouve à la ligne $i$ et à la colonne $j$ : l’indice de ligne est écrit en premier. $$A=\begin{pmatrix}12&8&5\\7&9&4\\10&6&11\end{pmatrix}, \qquad a_{23}=4,\quad a_{32}=6.$$ Cette matrice possède trois lignes et trois colonnes : elle est carrée d’ordre $3$. Une matrice colonne à trois lignes s’écrit $X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$. Dans ce cours, les calculs portent sur des matrices carrées d’ordres $2$ à $4$ et des colonnes compatibles.

Les étiquettes donnent le sens

Supposons que les lignes de $A$ correspondent à trois magasins, et ses colonnes à trois produits. Alors $a_{23}=4$ signifie que le deuxième magasin possède quatre unités du troisième produit. Échanger deux lignes change l’ordre des magasins ; ce n’est pas une nouvelle quantité, mais une nouvelle organisation du tableau.

Stock en unités	Produit 1	Produit 2	Produit 3
Magasin 1	12	8	5
Magasin 2	7	9	4
Magasin 3	10	6	11

Égalité et matrices particulières

Deux matrices sont égales si elles ont les mêmes dimensions et les mêmes coefficients aux mêmes positions. On compare les coefficients un par un ; une seule différence suffit à rejeter l’égalité.

La matrice nulle $0_n$ a tous ses coefficients nuls. La matrice identité $I_n$ a des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs : $$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Une matrice diagonale a des coefficients nuls hors de cette diagonale. Elle peut représenter des changements d’échelle séparés, un pour chaque catégorie.

Addition et multiplication par un réel

Additionner des données comparables

Pour deux matrices de même taille, $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. Dans une application, les lignes et les colonnes doivent aussi désigner les mêmes catégories, dans le même ordre, avec des unités compatibles.

Exemple - Deux livraisons

Les lignes représentent deux magasins et les colonnes deux produits. Si $$A=\begin{pmatrix}10&6\\4&8\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3&5\\7&2\end{pmatrix},\quad A+B=\begin{pmatrix}13&11\\11&10\end{pmatrix},$$ chaque coefficient du résultat est la quantité totale reçue par un magasin pour un produit.

Multiplier tous les coefficients

Pour $\lambda\in\mathbb{R}$, $(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}$. L’opposée de $A$ est $-A$ ; la différence $A-B$ est $A+(-B)$. $$2\begin{pmatrix}1&-3\\2&4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&2\\-1&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-8\\5&3\end{pmatrix}.$$ Un coefficient négatif peut représenter un solde ou une variation. Il ne représente pas automatiquement un stock physique réalisable : l’interprétation dépend des données.

Propriétés

Pour des matrices de même taille et des réels $\lambda,\mu$, $$A+B=B+A,\qquad (A+B)+C=A+(B+C),$$ $$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B, \qquad(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A, \qquad\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A.$$ Ces égalités se vérifient coefficient par coefficient avec les règles des réels. On a aussi $A+0_n=A$ et $A+(-A)=0_n$.

Exemple - Un coefficient inconnu

Si $2A+B=C$, où $B=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}5&6\\0&7\end{pmatrix}$, alors $$A=\frac12(C-B)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&2\end{pmatrix}.$$ La division ici est une multiplication par le réel $1/2$. Elle ne définit pas une division générale entre matrices.

Produit d’une matrice par une colonne

La règle ligne-colonne

Si $A$ est carrée d’ordre $n$ et $X$ une colonne de $n$ nombres, le produit $Y=AX$ est la colonne dont le coefficient $i$ est $$y_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n.$$ Pour chaque ligne de $A$, on multiplie les coefficients par ceux de $X$ aux positions correspondantes, puis on additionne. Il ne s’agit pas d’un produit terme à terme qui conserverait un tableau carré.

Exemple - Trois produits, trois ressources

Les colonnes de $A$ correspondent à trois produits, et les lignes à trois ressources. Les coefficients indiquent les unités de ressource nécessaires par unité de produit : $$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\2&1&0\end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}, \quad AX=\begin{pmatrix}1\cdot3+0\cdot4+2\cdot5\\0\cdot3+1\cdot4+1\cdot5\\2\cdot3+1\cdot4+0\cdot5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13\\9\\10\end{pmatrix}.$$ Produire trois, quatre et cinq unités des produits consomme respectivement $13$, $9$ et $10$ unités des ressources. Les unités des lignes peuvent différer ; chaque somme reste homogène dans sa propre ligne.

Identité et linéarité

On a $I_nX=X$ et $0_nX=0$. Pour des colonnes $X,Y$ et un réel $\lambda$, $$A(X+Y)=AX+AY,\qquad A(\lambda X)=\lambda AX.$$ Ces règles permettent de réunir des commandes ou d’en changer l’échelle. La colonne finale dépend toutefois de l’ordre des composantes : changer la liste des produits impose de modifier aussi les colonnes de $A$.

Un système écrit en une ligne

Le système $$\begin{cases}2x+y=8,\\x+y=5\end{cases} \quad\text{s'écrit}\quad \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}.$$ Soustraire la seconde équation de la première donne $x=3$, puis $y=2$. La vérification matricielle est $\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$. L’écriture $AX=B$ organise les coefficients ; elle ne permet pas d’écrire $X=B/A$.

Produit de deux matrices carrées

Chaque colonne se transforme séparément

Si $A,B$ sont carrées de même ordre $n$, la colonne $j$ de $AB$ est le produit de $A$ par la colonne $j$ de $B$. Ainsi $$(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}.$$ Le coefficient $(i,j)$ combine la ligne $i$ de la première matrice et la colonne $j$ de la seconde.

Exemple - L’ordre change le résultat

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},$$ $$AB=\begin{pmatrix}4&2\\10&4\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}.$$ On constate $AB\ne BA$. Le produit matriciel n’est donc pas commutatif en général.

Propriétés à conserver

Pour des matrices de même ordre, $(AB)C=A(BC)$, $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$ et $AI_n=I_nA=A$. L’associativité autorise le changement de parenthèses, pas le changement d’ordre. La notation $A^2$ signifie $AA$, et non le carré de chaque coefficient.

Exemple - Deux étapes de production

La matrice $B$ transforme deux quantités de lots en deux quantités de produits. La matrice $A$ transforme les produits en ressources : $$B=\begin{pmatrix}10&20\\5&8\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix},\qquad AB=\begin{pmatrix}25&48\\25&44\end{pmatrix}.$$ Pour $Q=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ lots, on obtient $BQ=\begin{pmatrix}80\\34\end{pmatrix}$ produits, puis $A(BQ)=\begin{pmatrix}194\\182\end{pmatrix}$ ressources. Le calcul direct $(AB)Q$ donne le même résultat.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

L’opération appliquée en premier se trouve à droite dans le produit composé.

Résoudre par la méthode de Gauss

Des transformations qui gardent les solutions

On écrit le tableau augmenté des coefficients, avec une barre avant le second membre. Trois opérations sur les lignes conservent exactement l’ensemble des solutions :

1. échanger deux lignes ;

2. multiplier une ligne par un réel non nul ;

3. ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne.

Chaque opération est réversible. Elle s’applique à toute la ligne, second membre compris. Multiplier une ligne par zéro ferait perdre une contrainte et n’est pas autorisé.

Créer des zéros puis remonter

Un pivot est un coefficient non nul utilisé pour éliminer les coefficients situés sous lui dans sa colonne. On recommence dans les lignes restantes, puis on résout à partir de la dernière ligne. Si un pivot prévu est nul, chercher une ligne à échanger ; ne pas diviser par zéro.

Exemple - Trois inconnues

Résoudre $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$, $x+2y-z=2$. Les opérations $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right).$$ Échanger les lignes $2$ et $3$ fournit un pivot égal à $1$, puis $L_3\leftarrow L_3+3L_2$ donne $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right).$$ On remonte : $-7z=-21$ donne $z=3$ ; $y-2z=-4$ donne $y=2$ ; $x+y+z=6$ donne $x=1$. Les trois équations initiales sont vérifiées : $1+2+3=6$, $2-2+3=3$ et $1+4-3=2$.

Ne pas arrondir pendant l’élimination

Les fractions exactes conservent les égalités. Un petit nombre obtenu après arrondi ne doit pas être assimilé automatiquement à zéro. Choisir des pivots simples peut réduire les calculs, mais ne change pas le raisonnement.

Lire le résultat et contrôler le modèle

Une, aucune ou plusieurs solutions

Une ligne $0x+0y+0z=c$ avec $c\ne0$ est impossible : le système n’a aucune solution. Une ligne entièrement nulle ne donne aucune nouvelle contrainte ; elle peut laisser une inconnue libre.

Exemple - Une contrainte répétée

$x+y=4$ et $2x+2y=8$ donnent, après $L_2-2L_1$, une ligne nulle. Les solutions sont $(x,y)=(4-t,t)$, $t\in\mathbb{R}$. Si l’on remplace le second membre $8$ par $9$, la même opération donne $0=1$ : il n’y a plus de solution.

Dans un système carré, un pivot pour chaque inconnue donne une solution unique. Sans ligne contradictoire, une inconnue non déterminée par un pivot peut être choisie librement ; on exprime les autres en fonction de ces paramètres. Il faut décrire les solutions, et pas seulement écrire que le calcul ne marche pas.

Quatre inconnues

La méthode est identique à l’ordre $4$ : éliminer la première inconnue dans les trois lignes suivantes, puis la deuxième dans les deux dernières, puis la troisième dans la dernière. On lit ensuite les inconnues en ordre inverse. L’exercice 9 donne une élimination complète avec quatre pivots non nuls.

Construire un modèle de production

1. Définir chaque inconnue avec son unité et son domaine possible.

2. Traduire les contraintes en équations, en gardant l’ordre des inconnues.

3. Résoudre le système par opérations équivalentes.

4. Vérifier les équations initiales et la faisabilité des valeurs obtenues.

Une quantité produite doit être positive ou nulle ; si les objets sont indivisibles, elle doit aussi être entière. Une solution algébrique peut donc ne pas être admissible dans le problème.

Égalité, capacité et optimisation

Utiliser exactement un stock donne une équation ; ne pas dépasser ce stock donne une inéquation. Un programme linéaire cherche en plus à maximiser ou minimiser une expression sous des contraintes. Ce cours traite les matrices et les systèmes d’égalités ; il ne remplace pas le chapitre d’inéquations et de programmation linéaire.

Les déterminants et les formules de matrices inverses ne sont pas nécessaires aux méthodes présentées ici.

Exercices corrigés - Opérations matricielles

Exercice 1 - Lire des indices et une égalité

Pour $M=\begin{pmatrix}2&5&7\\1&4&9\\6&8&3\end{pmatrix}$, donner $m_{23}$ et $m_{32}$. Déterminer aussi $a,b,c$ tels que $\begin{pmatrix}a&2\\3&b+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&c\\3&6\end{pmatrix}$.

Correction. La ligne $2$, colonne $3$, donne $m_{23}=9$ ; la ligne $3$, colonne $2$, donne $m_{32}=8$. L’égalité des matrices impose $a=4$, $c=2$ et $b+1=6$, donc $b=5$. Le coefficient $(2,1)$ est déjà égal à $3$ des deux côtés.

Exercice 2 - Une combinaison linéaire

Pour $A=\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1&4\\0&5\end{pmatrix}$, calculer $2A-B$, puis résoudre $2X+B=A$.

Correction. On opère coefficient par coefficient : $$2A-B=\begin{pmatrix}7&-6\\4&-5\end{pmatrix},\qquad X=\frac12(A-B)=\begin{pmatrix}2&-5/2\\1&-5/2\end{pmatrix}.$$ En effet $2X+B=\begin{pmatrix}4-1&-5+4\\2+0&-5+5\end{pmatrix}=A$.

Exercice 3 - Consommations de ressources

Une matrice de coefficients techniques est $C=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&0&3\\0&2&1\end{pmatrix}$. Ses colonnes correspondent à trois produits et ses lignes à trois ressources. Calculer les consommations pour la production $Q=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$, puis pour une commande deux fois plus grande.

Correction. Le produit ligne-colonne donne $$CQ=\begin{pmatrix}2\cdot4+1\cdot5\\1\cdot4+3\cdot2\\2\cdot5+1\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13\\10\\12\end{pmatrix}.$$ Par linéarité, $C(2Q)=2CQ=\begin{pmatrix}26\\20\\24\end{pmatrix}$. Il s’agit de ressources consommées, dans les unités respectives des trois lignes.

Exercices corrigés - Produits et modèles

Exercice 4 - Un produit n’est pas commutatif

Pour $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, calculer $AB$, $BA$ et $A^2$.

Correction. En appliquant la règle ligne-colonne, $$AB=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix},\quad A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.$$ Les deux premiers produits diffèrent ; et $A^2$ diffère de la matrice obtenue en élevant chaque coefficient de $A$ au carré.

Exercice 5 - Retrouver une matrice par ses colonnes

Une matrice $M$ d’ordre $2$ vérifie $M\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ et $M\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$. Déterminer $M$ et $M\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$.

Correction. Multiplier par la première colonne de l’identité sélectionne la première colonne de $M$, et de même pour la seconde. Donc $$M=\begin{pmatrix}2&3\\-1&4\end{pmatrix},\qquad M\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10+6\\-5+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\3\end{pmatrix}.$$ On peut aussi écrire la colonne d’entrée comme cinq fois la première colonne de l’identité plus deux fois la seconde, puis utiliser la linéarité.

Exercice 6 - Utiliser deux stocks exactement

Une unité du produit $P$ consomme deux unités de ressource $R$ et une de ressource $S$. Une unité de $Q$ consomme une unité de $R$ et trois de $S$. On veut utiliser exactement $80$ unités de $R$ et $90$ de $S$. Déterminer les quantités à produire.

Correction. Noter $x,y$ les quantités de $P,Q$. Elles vérifient $2x+y=80$ et $x+3y=90$. De la première équation, $y=80-2x$. Substituer donne $x+240-6x=90$, donc $x=30$, puis $y=20$.

Les valeurs sont non négatives et entières. Vérification : $2\cdot30+20=80$ et $30+3\cdot20=90$. La colonne de production $\begin{pmatrix}30\\20\end{pmatrix}$ satisfait bien $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}80\\90\end{pmatrix}$.

Exercices corrigés - Élimination et paramètres

Exercice 7 - Trois inconnues, trois pivots

Résoudre $x+y+z=6$, $2x-y+z=6$, $x+2y-z=1$ par la méthode de Gauss.

Correction. Les opérations $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent les deux dernières équations $-3y-z=-6$ et $y-2z=-5$. On échange ces deux lignes, puis on ajoute trois fois la nouvelle deuxième ligne à la troisième : $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-5\\0&-3&-1&-6\end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-5\\0&0&-7&-21\end{array}\right).$$ Donc $z=3$, $y=1$ et $x=2$. Dans les équations initiales : $2+1+3=6$, $4-1+3=6$, $2+2-3=1$. La solution unique est $(2,1,3)$.

Exercice 8 - Discussion avec paramètre (complément)

Selon le réel $k$, résoudre $x+y=2$ et $2x+ky=5$. Comparer avec le système $x+y=2$, $2x+2y=4$.

Correction. Soustraire deux fois la première ligne à la seconde donne $(k-2)y=1$. Si $k=2$, cette égalité devient $0=1$ : aucune solution. Si $k\ne2$, on peut diviser, et $$y=\frac1{k-2},\qquad x=2-y=\frac{2k-5}{k-2}.$$ Ces valeurs vérifient $x+y=2$ et $2x+ky=4+(k-2)y=5$.

Dans le système de comparaison, la seconde équation est exactement le double de la première. Il reste une seule contrainte : les solutions sont $(x,y)=(2-t,t)$, $t\in\mathbb{R}$. Une ligne nulle ne signifie donc pas toujours qu’il n’y a aucune solution.

Pourquoi le paramètre exige des cas

Diviser immédiatement par $k-2$ ferait disparaître le cas $k=2$. La discussion doit précéder l’opération qui n’est valide que pour certaines valeurs du paramètre.

Exercices corrigés - Ordre quatre et faisabilité

Exercice 9 - Quatre inconnues

Résoudre le système $$\begin{cases}x+y+z+t=10,\\2x+3y+z+2t=19,\\x+2y+3z+t=18,\\3x+y+2z+4t=27.\end{cases}$$ Correction. Avec $L_2-2L_1$, $L_3-L_1$ et $L_4-3L_1$, on obtient $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&10\\0&1&-1&0&-1\\0&1&2&0&8\\0&-2&-1&1&-3\end{array}\right).$$ Puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ et $L_4\leftarrow L_4+2L_2$ donnent $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&10\\0&1&-1&0&-1\\0&0&3&0&9\\0&0&-3&1&-5\end{array}\right).$$ Enfin, $L_4\leftarrow L_4+L_3$ fournit $t=4$. On remonte : $3z=9$ donc $z=3$, $y-z=-1$ donc $y=2$, puis $x=10-2-3-4=1$.

Vérification dans les quatre lignes initiales : $1+2+3+4=10$, $2+6+3+8=19$, $1+4+9+4=18$, $3+2+6+16=27$. La solution unique est $(1,2,3,4)$.

Exercice 10 - Solution algébrique ou production possible ?

Deux produits consomment respectivement deux et une unités d’une ressource. On demande de produire exactement dix unités au total en utilisant exactement $25$ unités de ressource. Existe-t-il un plan de production réalisable ?

Correction. Si $x,y\ge0$ sont les quantités, les contraintes sont $x+y=10$ et $2x+y=25$. La soustraction donne $x=15$, puis $y=-5$. Le système admet cette solution réelle unique, mais elle n’est pas un plan réalisable puisque $y<0$.

On peut aussi détecter l’impossibilité avant de résoudre : chaque unité consomme au plus deux unités de ressource. Dix unités en consomment au plus $20$, jamais $25$. Le contrôle du sens du problème confirme le résultat algébrique.