Calcul intégral - Cours et exercices corrigés | 2e Bac PC et SVT

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

Ouvrir et télécharger le cours en PDF

Sur téléphone, utilisez le bouton ci-dessus pour agrandir le document. La lecture est accessible sans inscription.

---

Objectifs. Calculer l’intégrale d’une fonction continue à l’aide d’une primitive ou d’une intégration par parties. Utiliser linéarité, relation de Chasles et comparaison. Déterminer une valeur moyenne, une aire et un volume de révolution en distinguant bien les unités.

Prérequis. Continuité, dérivation, primitives usuelles, logarithme et exponentielle. Les fonctions intégrées dans ce chapitre sont continues sur l’intervalle fermé considéré ; les intégrales présentant une singularité sur cet intervalle ne sont pas traitées comme des intégrales ordinaires.

L’intégrale à partir d’une primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Elle possède des primitives sur $I$. Si $F$ est l’une d’elles et $a,b\in I$, on définit $$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b.}$$ Le résultat est un nombre, tandis qu’une primitive est une fonction. Deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d’une constante ; cette constante s’annule dans la différence des valeurs aux bornes. Le résultat ne dépend donc pas de la primitive choisie.

Le symbole $x$ est une variable d’intégration : $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt$. Les nombres $a$ et $b$ sont respectivement les bornes inférieure et supérieure, même si l’on choisit $a>b$.

Exemple - Calculer puis soustraire dans le bon ordre

Une primitive de $f(x)=3x^2-2x+1$ est $F(x)=x^3-x^2+x$. Ainsi $$\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx=[x^3-x^2+x]_0^2=(8-4+2)-0=6.$$ Pour des bornes non nulles, il faut évaluer toute l’expression aux deux bornes. Par exemple, $$\int_1^2(2x+1)\,dx=[x^2+x]_1^2=(4+2)-(1+1)=4.$$

Bornes identiques ou inversées

$$\int_a^a f(x)\,dx=0,\qquad \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.$$ Une intégrale n’est donc pas toujours une aire positive. Son signe dépend de la fonction et de l’ordre des bornes.

Propriétés de calcul

Relation de Chasles

Pour $a,b,c$ dans un même intervalle où $f$ est continue, $$\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.$$ Cette égalité est valable quel que soit l’ordre de $a,b,c$. Elle résulte de $F(c)-F(a)=[F(b)-F(a)]+[F(c)-F(b)]$. Elle permet de découper un calcul, notamment aux points où une fonction change de signe.

Linéarité

Si $f,g$ sont continues et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, alors $$\int_a^b(\lambda f(x)+\mu g(x))\,dx =\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.$$ On peut sortir un coefficient constant et intégrer une somme terme à terme. En revanche, il n’existe pas de règle générale transformant l’intégrale d’un produit en produit des intégrales.

Exemple - Un produit doit être traité comme une nouvelle fonction

Sur $[0;1]$, $\int_0^1x^2\,dx=1/3$, tandis que $(\int_0^1x\,dx)^2=(1/2)^2=1/4$. Ces deux nombres ne sont pas égaux. Pour intégrer $(x+1)(x-2)$, on peut d’abord développer : $x^2-x-2$.

Quelques primitives à reconnaître

Fonction	Une primitive	Condition
$x^n$	$x^{n+1}/(n+1)$	$n\in\mathbb{N}$
$1/x$	$\ln|x|$	Intervalle sans $0$
$1/x^2$	$-1/x$	Intervalle sans $0$
$1/\sqrt x$	$2\sqrt x$	$x>0$
$e^x$	$e^x$	$x\in\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x$	$x\in\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$x\in\mathbb{R}$

Pour une puissance réelle $x^\alpha$ sur $]0;+\infty[$, avec $\alpha\ne-1$, une primitive est $x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$. Le cas $\alpha=-1$ demande le logarithme.

Vérifier la continuité avant la formule

On ne calcule pas $\int_{-1}^1 1/x^2\,dx$ en écrivant $[-1/x]_{-1}^1$ : la fonction n’est pas définie en $0$. Les intégrales impropres relèvent d’un autre cadre. Ici, les hypothèses du calcul par primitive sur tout l’intervalle doivent être satisfaites.

Reconnaître la dérivée d’une composée

Plutôt que chercher une nouvelle méthode pour chaque formule, on repère une fonction $u$ et sa dérivée $u'$. Les identités suivantes se vérifient directement par dérivation : $$\begin{align*} \bigl(e^{u(x)}\bigr)'&=u'(x)e^{u(x)},\\ \bigl(\ln|u(x)|\bigr)'&=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad\text{si }u(x)\ne0,\\ \left(\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}\right)'&=u'(x)u(x)^n\quad(n\in\mathbb{N}). \end{align*}$$ Sur un intervalle où $u>0$, on reconnaît aussi $(2\sqrt u)'=u'/\sqrt u$. Il faut tenir compte du coefficient de $u'$ : l’oublier change le résultat.

Exemple - Une fraction de la forme $u'/u$

Pour $u(x)=x^2+1$, on a $u'(x)=2x$ et $u(x)>0$ sur $\mathbb{R}$. Donc $$\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,dx=[\ln(x^2+1)]_0^1=\ln2.$$ Si le numérateur était seulement $x$, la primitive serait $\frac12\ln(x^2+1)$.

Exemple - Un coefficient à corriger

Une primitive de $e^{3x}$ est $\frac13e^{3x}$, car la dérivée de $e^{3x}$ vaut $3e^{3x}$. Ainsi $$\int_0^1e^{3x}\,dx=\frac{e^3-1}{3}.$$ De même, $\int_0^1(2x+1)^3\,dx=[(2x+1)^4/8]_0^1=(81-1)/8=10$.

Intégration par parties

Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $[a;b]$, la dérivée $(uv)'=u'v+uv'$ et la linéarité donnent $$\boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.}$$ On choisit $u$ pour que sa dérivée simplifie le produit, et $v'$ pour qu’une primitive $v$ soit connue. On n’intègre pas les deux facteurs séparément pour ensuite multiplier leurs primitives.

Exemple - Polynôme multiplié par une exponentielle

Pour $I=\int_0^1xe^x\,dx$, prenons $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$. Alors $u'=1$ et $v=e^x$. D’où $$I=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1.$$ Une primitive du produit est $(x-1)e^x$, ce que l’on confirme en dérivant.

Exemple - Le logarithme comme produit par $1$

Pour $J=\int_1^e\ln x\,dx$, choisir $u=\ln x$, $v'=1$, donc $u'=1/x$, $v=x$. On obtient $$J=[x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx=e-(e-1)=1.$$ Le terme $x\ln x$ vaut $0$ en $1$. Sur $]0;+\infty[$, $x\ln x-x$ est une primitive de $\ln x$.

Un contrôle utile

Avant d’évaluer une primitive trouvée par calcul, la dériver. Après une intégration par parties, vérifier le signe moins, le produit aux deux bornes et la présence de l’intégrale restante. Une estimation de l’ordre de grandeur peut aussi révéler une erreur.

Intégrale, ordre et valeur moyenne

Dans cette section, $a<b$. L’ordre des bornes est essentiel.

Positivité et comparaison

Si $f\ge0$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^bf\ge0$. Si $f\le g$ sur cet intervalle, alors $$\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx.$$ En particulier, si $m\le f(x)\le M$ pour tout $x\in[a;b]$, alors $$m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a).$$ Ces propriétés sont admises ici avec leur interprétation en termes d’aires. Si l’on inverse les bornes, les deux intégrales changent de signe et le sens de l’inégalité s’inverse.

Exemple - Encadrer sans calculer de primitive

Sur $[0;1]$, $1\le1+x^2\le2$, donc $1/2\le1/(1+x^2)\le1$. Ainsi $$\frac12\le\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le1.$$ On n’a pas eu besoin d’introduire une primitive qui ne figure pas dans le répertoire étudié.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le nombre $$\mu=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$ Pour une fonction continue, il existe $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=\mu$ : la valeur moyenne est effectivement prise par la fonction. Géométriquement, pour $f\ge0$, le rectangle de largeur $b-a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que la région sous la courbe.

Pour $f(x)=x^2$ sur $[0;2]$, $\int_0^2x^2\,dx=8/3$, donc $\mu=4/3$. Ce n’est ni $f(1)=1$, ni la moyenne des valeurs aux extrémités, $(f(0)+f(2))/2=2$. Une moyenne intégrale prend en compte tout l’intervalle.

Une intégrale dont la borne varie

Si $f$ est continue sur $I$ et $a\in I$, la fonction $H(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ sur $I$ ; ainsi $H'(x)=f(x)$. Le nombre $a$ est fixé, la borne $x$ varie. On peut étudier les variations de $H$ grâce au signe de $f$, même sans expliciter $H$.

Aires et volumes de révolution

Une courbe et l’axe des abscisses

Dans un repère orthonormé, si $f\ge0$ sur $[a;b]$ avec $a<b$, l’aire entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ vaut $\int_a^bf(x)\,dx$ en unités d’aire. Si $f$ change de signe, l’aire vaut $$\mathcal A=\int_a^b|f(x)|\,dx.$$ On découpe alors aux zéros de $f$. Par exemple, $\int_{-1}^1x\,dx=0$, mais l’aire entre la droite $y=x$ et l’axe sur cet intervalle vaut $1$ : deux triangles d’aire $1/2$.

Entre deux courbes

Si $f,g$ sont continues sur $[a;b]$, l’aire entre leurs courbes et les deux droites verticales vaut $$\mathcal A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$ Lorsque $f\ge g$ partout, la valeur absolue devient $f-g$ : on intègre courbe supérieure moins courbe inférieure. Si les courbes se croisent, on découpe aux abscisses d’intersection et on étudie le signe de $f-g$ sur chaque morceau.

Exemple - La droite et la parabole

Sur $[0;1]$, $x\ge x^2$. L’aire entre $y=x$ et $y=x^2$ est $$\mathcal A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^1=\frac16.$$ Le résultat est positif, comme doit l’être une aire.

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Tourner une région autour de l’axe des abscisses

Supposons $f\ge0$ continue sur $[a;b]$, $a<b$. On fait tourner autour de l’axe des abscisses la région comprise entre $y=0$, $y=f(x)$ et les droites $x=a$, $x=b$. Une section perpendiculaire à cet axe est un disque de rayon $f(x)$ et d’aire $\pi f(x)^2$. Le volume est $$\boxed{V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.}$$ Il faut intégrer le carré du rayon. Par exemple, $f(x)=x$ sur $[0;2]$ engendre un cône et $V=\pi\int_0^2x^2\,dx=8\pi/3$. On retrouve $\frac13\pi r^2h$ avec $r=h=2$.

Si l’unité de longueur est $1$ cm sur les deux axes, les aires sont en cm$^2$ et les volumes en cm$^3$. Une autre échelle doit être prise en compte ; on ne confond pas unités d’aire, de volume et de longueur.

Exercices corrigés

Vérifier les hypothèses, puis chercher le calcul avant de consulter la correction.

Exercice 1 - Calcul direct et bornes inversées

Calculer $I=\int_1^3(2x^2-x+2)\,dx$, puis $\int_3^1(2x^2-x+2)\,dx$.

Correction. Une primitive est $F(x)=2x^3/3-x^2/2+2x$. On a $F(3)=18-9/2+6=39/2$ et $F(1)=2/3-1/2+2=13/6$. Donc $I=117/6-13/6=52/3$. L’intégrale à bornes inversées vaut $-52/3$. L’intégrande est positive sur $[1;3]$, ce qui confirme le signe de $I$.

Exercice 2 - Reconnaître une composée

Calculer $I=\int_0^2 x/(x^2+1)\,dx$ et $J=\int_0^1(4x+2)e^{2x^2+2x}\,dx$.

Correction. Pour $I$, le numérateur est la moitié de la dérivée du dénominateur, qui est toujours positif : $$I=\left[\frac12\ln(x^2+1)\right]_0^2=\frac12\ln5.$$ Pour $J$, poser mentalement $u=2x^2+2x$ donne $u'=4x+2$. Une primitive est donc $e^{2x^2+2x}$ et $J=e^4-1$. Les dérivées des deux primitives redonnent les intégrandes.

Exercice 3 - Intégration par parties

Calculer $K=\int_1^e x\ln x\,dx$.

Correction. Choisir $u=\ln x$, $v'=x$, donc $u'=1/x$ et $v=x^2/2$. Alors $$K=\left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^e-\frac12\int_1^e x\,dx =\frac{e^2}2-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}.$$ On peut contrôler avec la primitive $x^2\ln x/2-x^2/4$, dont la dérivée est bien $x\ln x$.

Exercice 4 - Chasles et comparaison

On sait $\int_0^3f=7$ et $\int_0^1f=2$, pour une fonction continue $f$. Calculer $\int_1^3f$. Puis, sans chercher de primitive, encadrer $L=\int_0^2 1/(x+3)\,dx$.

Correction. Chasles donne $\int_1^3f=7-2=5$. Sur $[0;2]$, $3\le x+3\le5$ donc $1/5\le1/(x+3)\le1/3$. La longueur de l’intervalle vaut $2$ ; ainsi $2/5\le L\le2/3$. On multiplie les deux bornes de l’encadrement par la largeur, pas seulement par $1$.

Exercice 5 - Valeur moyenne et valeur effectivement atteinte

Déterminer la valeur moyenne de $f(x)=x^2+1$ sur $[0;3]$, puis trouver $c\in[0;3]$ tel que $f(c)$ soit égal à cette moyenne.

Correction. $\int_0^3(x^2+1)\,dx=[x^3/3+x]_0^3=12$. La moyenne est $\mu=12/3=4$. Résoudre $c^2+1=4$ donne $c=\pm\sqrt3$ ; seul $c=\sqrt3$ appartient à $[0;3]$. La valeur moyenne n’est pas $f(3/2)=13/4$.

Exercice 6 - Deux courbes qui se croisent

Calculer l’aire comprise entre $y=x$ et $y=x^2$ pour $0\le x\le2$.

Correction. Les courbes se coupent pour $x=x^2$, donc en $0$ et $1$. Sur $[0;1]$, $x-x^2\ge0$ ; sur $[1;2]$, $x^2-x\ge0$. D’où $$\mathcal A=\int_0^1(x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-x)\,dx.$$ Le premier terme vaut $1/6$. Le second vaut $[x^3/3-x^2/2]_1^2=(8/3-2)-(1/3-1/2)=5/6$. L’aire totale est donc $1$ unité d’aire. Intégrer simplement $x-x^2$ sur tout $[0;2]$ mélangerait deux contributions de signes contraires.

Exercice 7 - Un volume de révolution

On fait tourner autour de l’axe des abscisses la région sous $f(x)=\sqrt{x+1}$, entre $x=0$ et $x=3$. Calculer le volume, avec une unité de longueur de $1$ cm.

Correction. La fonction est continue et positive sur $[0;3]$. Le rayon d’une section est $\sqrt{x+1}$, son carré est $x+1$. Donc $$V=\pi\int_0^3(x+1)\,dx=\pi[x^2/2+x]_0^3=\frac{15\pi}{2}\ \text{cm}^3.$$ La valeur $\int_0^3\sqrt{x+1}\,dx$ correspondrait à une aire, pas au volume demandé.

Exercice 8 - Déterminer un paramètre

Trouver $a\in\mathbb{R}$ tel que $\int_0^2(ax+1)\,dx=10$. Interpréter ensuite la valeur moyenne de la fonction obtenue sur $[0;2]$.

Correction. L’intégrale vaut $[ax^2/2+x]_0^2=2a+2$. L’équation $2a+2=10$ donne $a=4$. Pour $f(x)=4x+1$, la valeur moyenne vaut $10/(2-0)=5$. Elle est prise en $x=1$, car $f(1)=5$ ; cette coïncidence avec le milieu est ici liée à la fonction affine.

Exercice 9 - Étudier une fonction définie par une intégrale

Pour $x\in\mathbb{R}$, on pose $H(x)=\int_0^x(t^2-1)\,dt$. Déterminer $H$, puis ses variations et ses extrema locaux.

Correction. Une primitive de $t^2-1$ est $t^3/3-t$, donc $H(x)=x^3/3-x$. On a $H'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$. La dérivée est positive sur $]-\infty;-1[$ et $]1;+\infty[$, négative sur $]-1;1[$. Ainsi $H$ croît sur $]-\infty;-1]$, décroît sur $[-1;1]$, puis croît sur $[1;+\infty[$. Elle a un maximum local $H(-1)=2/3$ et un minimum local $H(1)=-2/3$. Ce ne sont pas des extrema globaux sur $\mathbb{R}$, car $H$ est non bornée.

Fin du cours et des exercices corrigés