Calcul intégral, aires et volumes - Cours et exercices corrigés | 2e Bac arts appliqués

KORASATI · MATHÉMATIQUES

Retrouvez le cours intégral ci-dessous et sa version A4 mise en page, avec toutes les figures et les exercices corrigés.

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Objectifs. Calculer une intégrale par reconnaissance de primitive ou par intégration par parties. Utiliser ses propriétés pour une moyenne, un encadrement, une aire ou un volume. Les exemples géométriques relient les calculs à des profils et des surfaces.

Reconnaître une primitive

Sur un intervalle $I$, une fonction $F$ est une primitive de $f$ si $F$ est dérivable et $F'=f$ sur $I$. Si une primitive est connue, toutes les autres sont $F+C$, où $C$ est une constante. Les constantes peuvent être différentes sur des intervalles disjoints.

Fonction	Une primitive	Conditions
$k$	$kx$	constante réelle $k$
$x^m$	$x^{m+1}/(m+1)$	$m\in\mathbb{Z},\ m\ne-1$, domaine adapté
$1/x$	$\ln|x|$	intervalle sans $0$
$1/\sqrt x$	$2\sqrt x$	$x>0$
$e^{ax+b}$	$e^{ax+b}/a$	$a\ne0$
$u'/u$	$\ln|u|$	$u$ dérivable, sans zéro
$u'e^u$	$e^u$	$u$ dérivable

Le cas $m=0$ désigne la fonction constante $1$. Pour les puissances négatives, $0$ est exclu. Si $a=0$, une primitive de la constante $e^b$ est $xe^b$.

Sommes et coefficients

Une primitive de $\alpha f+\beta g$ est $\alpha F+\beta G$ si $F'=f$ et $G'=g$ sur le même intervalle. On ne peut pas faire de même pour un produit sans vérifier sa dérivée.

Décomposer puis vérifier

Sur $]0;+\infty[$, une primitive de $f(x)=4x^3-2/x+3e^{-x}$ est $$F(x)=x^4-2\ln x-3e^{-x}.$$ Sa dérivée redonne $4x^3-2/x+3e^{-x}$. Le signe du dernier terme vient de la dérivée de $e^{-x}$.

Une dérivée intérieure

Pour un entier $m\ne-1$, une primitive de $u'u^m$ est $u^{m+1}/(m+1)$, sur tout intervalle où ces expressions sont définies. Par exemple, une primitive de $2x(x^2+3)^2$ est $(x^2+3)^3/3$. On contrôle toujours le facteur $u'$.

Définir et calculer une intégrale

On travaille avec les fonctions usuelles étudiées, définies et dérivables sur un intervalle contenant le segment considéré, et dont on connaît une primitive. Si $F'=f$, on définit $$\boxed{\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b}.$$ La constante de primitive disparaît dans la différence. L’intégrale est un nombre, alors qu’une primitive est une fonction. La lettre $x$ est une variable de calcul : écrire $t$ à sa place ne change pas le résultat.

Évaluer les deux bornes

$$\int_1^2(2x+3)\,dx=[x^2+3x]_1^2=(4+6)-(1+3)=\boxed6.$$ Les parenthèses autour de chaque valeur protègent le signe de la soustraction.

Bornes égales ou inversées

$$\int_a^af(x)\,dx=0,\qquad \boxed{\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx}.$$ Une fonction positive peut donc avoir une intégrale négative lorsque les bornes sont inversées. Par exemple $\int_2^1(2x+3)\,dx=-6$.

Vérifier tout le segment

Pour intégrer $1/x$ de $1$ à $3$, on peut utiliser $\ln x$, car l’intervalle ne rencontre pas $0$. En revanche, le calcul formel $[\ln|x|]_{-1}^1$ ne définit pas une intégrale de $1/x$ sur $[-1;1]$ : la fonction n’est pas définie en un point intérieur. Il faut respecter les hypothèses sur tout le segment, pas seulement aux bornes.

Une aire lorsque la fonction est positive

Si $a<b$ et $f\geq0$ sur $[a;b]$, l’intégrale représente l’aire comprise entre la courbe, l’axe horizontal et les droites $x=a$, $x=b$. La valeur est en unités d’aire. Si les longueurs sont mesurées en centimètres dans un repère orthonormé, l’aire est en centimètres carrés. La figure sert à contrôler le signe et l’ordre de grandeur.

Propriétés, moyenne et encadrements

Chasles et linéarité

Pour des fonctions et des bornes appartenant au même intervalle d’étude, $$\boxed{\int_a^cf=\int_a^bf+\int_b^cf},\qquad \boxed{\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg}.$$ La relation de Chasles conserve l’orientation des bornes. Si $\int_0^4f=11$ et $\int_0^1f=3$, on a $\int_1^4f=8$.

Ordre et bornes

Pour $a<b$, si $f\leq g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^bf\leq\int_a^bg$. En particulier, si $m\leq f(x)\leq M$ sur le segment, $$\boxed{m(b-a)\leq\int_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a)}.$$ La comparaison se comprend par des aires lorsque les fonctions sont positives. L’hypothèse $a<b$ est nécessaire pour garder ce sens d’inégalité.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$, avec $a<b$, est $$\boxed{\overline f=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx}.$$ Elle est comprise entre toute borne inférieure et toute borne supérieure de $f$. Pour une fonction positive, un rectangle de largeur $b-a$ et de hauteur $\overline f$ possède la même aire que la région sous la courbe.

Encadrer sans connaître la valeur décimale

Sur $[1;2]$, $1/2\leq1/x\leq1$. En intégrant, on obtient $$\boxed{\frac12\leq\ln2\leq1}.$$ On peut affiner en découpant l’intervalle et en utilisant des rectangles plus étroits.

Deux rectangles pour une exponentielle

Sur $[0;1/2]$, $1\leq e^x\leq\sqrt e$; sur $[1/2;1]$, $\sqrt e\leq e^x\leq e$. Chasles donne $$\frac{1+\sqrt e}{2}\leq\int_0^1e^x\,dx=e-1\leq\frac{\sqrt e+e}{2}.$$ Ces bornes ne sont pas une nouvelle formule exacte de l’intégrale : elles mesurent l’effet du découpage.

Intégration par parties

Pour les fonctions usuelles $u,v$ dont les dérivées permettent les intégrales suivantes sur $[a;b]$, la règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$ donne $$\boxed{\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx}.$$ La formule échange une intégrale contre une autre et un terme aux bornes. On choisit $u$ de manière que $u'$ soit plus simple et $v'$ de manière à connaître $v$.

Un facteur polynomial

Calculons $I=\int_0^1xe^x\,dx$. Prenons $u=x$, $u'=1$, $v'=e^x$, $v=e^x$. Alors $$I=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=\boxed1.$$ La primitive $(x-1)e^x$ permet un contrôle par dérivation : sa dérivée est $e^x+(x-1)e^x=xe^x$.

Un logarithme

Calculons $J=\int_1^2\ln x\,dx$. On écrit $\ln x=\ln x\times1$ et on prend $u=\ln x$, $u'=1/x$, $v'=1$, $v=x$. Ainsi $$J=[x\ln x]_1^2-\int_1^21\,dx=\boxed{2\ln2-1}.$$ Le résultat est positif, en accord avec $\ln x\geq0$ sur $[1;2]$. Le produit $x\ln x$ seul n’est pas une primitive de $\ln x$; il faut soustraire $x$.

Quand choisir cette méthode?

Un produit d’un polynôme simple et d’une exponentielle, ou un logarithme isolé, peut se prêter à une intégration par parties. Une expression de la forme $u'e^u$ ou $u'/u$ se traite généralement plus directement par reconnaissance.

Deux contrôles à garder

Ne pas oublier le signe moins devant la nouvelle intégrale. Ne pas oublier non plus le terme aux bornes. Après le calcul, dériver une primitive obtenue ou encadrer l’intégrale à l’aide du signe et de bornes simples.

Calculer une aire

Entre une courbe et l’axe horizontal

Pour $a<b$, si $f\geq0$, l’aire vaut $\int_a^bf$. Si $f\leq0$, elle vaut $-\int_a^bf$. Si $f$ change de signe, on coupe aux zéros et on additionne les aires positives. Une intégrale signée peut être nulle alors que la région possède une aire positive.

Entre deux courbes

Sur un intervalle où $f\geq g$, l’aire comprise entre leurs courbes est $$\boxed{\mathcal A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx}.$$ On intègre la fonction supérieure moins la fonction inférieure. Si l’ordre change, les points d’intersection déterminent les morceaux à séparer.

Un motif entre une parabole et une droite

Les courbes $y=2x$ et $y=x^2$ se coupent pour $x=0$ et $x=2$. Sur $[0;2]$, $2x-x^2=x(2-x)\geq0$, donc $$\mathcal A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\boxed{\frac43}.$$

Figure disponible dans la version PDF ci-dessus.

Si l’unité graphique représente $2$ cm sur chacun des axes, une unité d’aire représente $4$ cm$^2$. L’aire physique du motif devient donc $16/3$ cm$^2$. Le facteur d’échelle s’applique aux deux directions.

Volumes et profils de solides

Additionner les sections

Pour un solide usuel, si sa section perpendiculaire à l’axe d’abscisse $x$ a pour aire $A(x)$ entre $a$ et $b$, son volume s’obtient par $$\boxed{V=\int_a^bA(x)\,dx}.$$ Pour la rotation autour de l’axe horizontal de la région $0\leq y\leq f(x)$, avec un profil positif usuel, la section est un disque de rayon $f(x)$. Par conséquent, $$\boxed{V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx}.$$ Le carré porte sur le rayon, avant l’intégration. Si les longueurs sont en centimètres, le volume est en centimètres cubes.

Retrouver cylindre et cône

Pour un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$, la section est constante : $V=\int_0^h\pi R^2\,dx=\pi R^2h$.

Pour un cône de hauteur $h>0$ et de rayon de base $R>0$, on mesure $x$ depuis le sommet. Le rayon de section vaut $r(x)=Rx/h$. On obtient $$V=\pi\int_0^h\frac{R^2x^2}{h^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{h^2}\frac{h^3}{3}=\boxed{\frac{\pi R^2h}{3}}.$$ La section n’est donc pas constante; utiliser directement l’aire de base multipliée par la hauteur donnerait le cylindre enveloppant.

Retrouver le volume d’une boule

Pour une boule de rayon $R>0$ centrée à l’origine, la section à l’abscisse $x$ est un disque dont le rayon au carré vaut $R^2-x^2$. Son aire est $A(x)=\pi(R^2-x^2)$ pour $-R\leq x\leq R$. Ainsi $$V=\pi\int_{-R}^R(R^2-x^2)\,dx =\pi\left[R^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-R}^R =\boxed{\frac43\pi R^3}.$$ La fonction intégrée est ici l’aire de section, un polynôme bien défini jusqu’aux extrémités.

Aire et volume n’utilisent pas la même intégrande

L’aire sous un profil $f$ utilise $f$. Le volume de rotation autour de l’axe utilise $\pi f^2$. Une aire est en unités au carré, un volume en unités au cube. Les unités constituent un contrôle utile du modèle.

Exercices corrigés - Calculs directs

Exercice 1 - Intégrale polynomiale

Calculer $I=\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx$. Solution. Une primitive est $x^3-x^2+x$. Ainsi $$I=[x^3-x^2+x]_0^2=8-4+2=\boxed6.$$ L’intégrande est $3(x-1/3)^2+2/3>0$, ce qui confirme le signe du résultat.

Exercice 2 - Reconnaître un quotient

Calculer $J=\int_1^3 2x/(x^2+1)\,dx$. Solution. Le dénominateur est strictement positif et sa dérivée vaut $2x$. Donc $$J=[\ln(x^2+1)]_1^3=\ln10-\ln2=\boxed{\ln5}.$$ On garde d’abord la différence exacte; il ne faut pas remplacer $\ln10-\ln2$ par $\ln8$.

Exercice 3 - Exponentielle composée

Calculer $K=\int_0^1(3x^2+2)e^{x^3+2x}\,dx$. Solution. La dérivée de $x^3+2x$ est exactement $3x^2+2$. Une primitive de l’intégrande est donc $e^{x^3+2x}$. Ainsi $$K=[e^{x^3+2x}]_0^1=\boxed{e^3-1}.$$ Une intégration par parties serait inutile ici : la dérivée intérieure est déjà présente.

Un choix de méthode justifié

Un calcul direct est complet lorsqu’il indique la primitive reconnue, les conditions qui la rendent valide sur le segment et l’évaluation aux deux bornes. La seule valeur finale ne montre pas comment l’intégrale a été calculée.

Exercices corrigés - Parties et aire signée

Exercice 4 - Un logarithme sur un segment

Calculer $I=\int_1^e\ln x\,dx$. Solution. Prenons $u=\ln x$, $u'=1/x$, $v'=1$ et $v=x$. Alors $$I=[x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx=e-(e-1)=\boxed1.$$ On peut aussi évaluer la primitive $x\ln x-x$ aux deux bornes : elle vaut $0$ en $e$ et $-1$ en $1$.

Exercice 5 - Un coefficient dans l’exposant

Calculer $J=\int_0^1xe^{2x}\,dx$. Solution. On choisit $u=x$, $u'=1$, $v'=e^{2x}$ et $v=e^{2x}/2$. Donc $$J=\left[\frac{xe^{2x}}2\right]_0^1-\frac12\int_0^1e^{2x}\,dx =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}.$$ Les deux facteurs $1/2$ viennent de deux reconnaissances de primitive successives.

Exercice 6 - Une aire qui exige un découpage

Calculer l’aire entre $y=x^2-1$ et l’axe horizontal pour $-2\leq x\leq2$. Solution. La fonction s’annule en $-1$ et $1$. Elle est positive à l’extérieur de $[-1;1]$, négative à l’intérieur. Par symétrie, $$\mathcal A=2\int_1^2(x^2-1)\,dx+\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx.$$ La première intégrale vaut $[x^3/3-x]_1^2=4/3$; la seconde vaut $[x-x^3/3]_{-1}^1=4/3$. Ainsi $$\boxed{\mathcal A=4\ \text{unités d'aire}}.$$ L’intégrale signée $\int_{-2}^2(x^2-1)\,dx=4/3$ est différente : la partie située sous l’axe y intervient négativement.

Exercices corrigés - Moyenne, volume et bornes

Exercice 7 - Une valeur moyenne

Déterminer la valeur moyenne de $f(x)=1/(x+1)$ sur $[0;3]$. Solution. Une primitive est $\ln(x+1)$, donc $$\overline f=\frac13[\ln(x+1)]_0^3=\boxed{\frac{\ln4}{3}}\approx0{,}4621.$$ Elle est bien entre les valeurs extrêmes $1/4$ et $1$. Elle n’est pas leur moyenne arithmétique $5/8$.

Exercice 8 - Faire tourner un profil

La région $0\leq y\leq\sqrt{1+x}$, $0\leq x\leq3$, tourne autour de l’axe horizontal. Calculer le volume. Solution. Le rayon au carré est $1+x$, donc $$V=\pi\int_0^3(1+x)\,dx=\pi[x+x^2/2]_0^3=\boxed{15\pi/2}.$$ Le résultat est en unités de volume; intégrer seulement $\sqrt{1+x}$ aurait calculé l’aire du profil.

Exercice 9 - Encadrer un logarithme

Montrer $1/3\leq\ln(3/2)\leq1/2$ en utilisant une intégrale. Solution. Sur $[1;3/2]$, on a $2/3\leq1/x\leq1$. La longueur est $1/2$, donc $$\frac23\frac12\leq\int_1^{3/2}\frac{dx}{x}\leq1\frac12.$$ L’intégrale vaut $\ln(3/2)$, ce qui donne exactement l’encadrement annoncé.

Exercice 10 - Un volume à rayon variable

Un objet de révolution a pour rayon $r(x)=1+x/4$, en centimètres, pour $0\leq x\leq8$ cm. Déterminer son volume. Solution. Le rayon varie de $1$ à $3$ cm. On intègre la section circulaire : $$V=\pi\int_0^8\left(1+\frac x4\right)^2dx =\pi\left[x+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{48}\right]_0^8 =\boxed{\frac{104\pi}{3}\ \text{cm}^3}.$$ Le résultat se situe entre $8\pi$ et $72\pi$, volumes des cylindres de même hauteur et de rayons $1$ et $3$ : ce contrôle est cohérent avec le profil.